“数学教师的基本功”之二

　　善于提问

　　● 郑毓信

　　中国数学教师在教学中的提问应当说十分普遍和频繁。但是，正如以下的调查所表明的，真正有质量的问题（或者说好的问题）并不多：

　　在一次几何教学观摩中，一位教师在一堂课中共提了105个问题，数量之多连任课教师自己也不敢相信，但其中“记忆性问题居多（占74.3%），推理性问题次之（占21.0%），强调知识覆盖面，但极少有创造性、批判性问题”；另外，“提问后基本上没有停顿（占86.7%），不利于学生思考”。①

　　那么，从教学的角度看，究竟什么是“好的问题”呢？对此美国学者巴拉布与达菲应当说提供了一个很好的解答：“教师的工作是通过向学生问他们应当自己问自己的问题来对学习和问题解决进行指导。这是参与性的，不是指示性的；其基础不是要寻找正确答案，而是针对专业的问题解决者当时会向自己提出的那些问题。”② 由此可见，能够提出恰当的问题事实上也正是数学思维的一种表现，从而也就必然地有一个通过学习逐步养成的过程。

　　显然，从这样的角度去分析，我们也就可以立即看出以下一些提法的局限性：

　　教学思想的发展可以归结为：由“教师问、学生答”经由“学生问、教师答”最终演变成“学生问、教师帮、学生答”。

　　“学生所提出的任何问题都是有用的。”

　　再者，经常可以看到的以下做法显然也是过于简单了：有不少教师往往就以“这堂课你们想学些什么”作为课堂教学的直接开端，在学生从事了一定的解题活动之后，又常常会要求学生自己去编题；另外，各种教材中对于“你还能提出什么问题”这一用语的使用频度无疑也会给人留下十分深刻的印象。

　　事实上，正如以下的实例③所表明的，就现实而言，学生所提的问题常常是“从众”的结果（或是刻意的“标新立异”），从而就很难被看成真正的创造性工作。如同解决问题能力的培养，学生提出问题的能力也不可能自发地形成，而主要是一个文化继承的过程，教师更应在这一过程中发挥重要的指导作用：

　　信息提供：故事书每套12元，连环画每套15元，科学书每套18元。

　　提出问题：买5套故事书和2套连环画，一共要付多少钱？

　　问题解答：12×5+15×2=60+30=90（元）

　　师：谁还能再提一个问题？

　　生1：买3套故事书和5套连环画，一共要付多少钱？

　　生2：买4套故事书和3套连环画，一共要付多少钱？

　　生1：买2套故事书和6套连环画，一共要付多少钱？

　　……

　　针对这样的情况，该文作者明确指出：“如果教师能抓住时机，启发引导，提示学生：‘科技书我们也要看啊’或‘能否求出两种书相差多少钱呢？’学生的思路自然就宽了。”当然，我们也可对各种书的单价作出一定的改变，包括超出故事书、连环画和科技书的范围而谈到其他的书籍；我们甚至还可超出问题的“事实性内容”而过渡到相应的数学结构。

　　总的来说，会提问、善于提问也应当被看成数学教师的又一基本功，应十分重视的是课堂提问的恰当性。

　　以下再围绕数学教学的具体目标对课堂提问的恰当性作出进一步的论述。

　　1． “解题策略”与问题提出。

　　正如人们普遍了解的，“问题解决”不仅对于数学学习有着特别的重要性，而且也是数学活动的一个基本形式。特别是，所谓的“解题策略”更应被看成数学思维的一个重要方面。

　　就“问题解决”（包括中国的“数学方法论”）的现代研究而言，著名数学家、数学教育家波利亚关于“数学启发法”的研究为此奠定了必要的基础，因为，正是他从总体上确定了这种研究的性质：尽管不存在可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，“各种各样的规则还是有的，诸如行为准则、格言、指南，等等。这些都还是有用的”。这也就是指，我们可以而且应当由已有的成功实践总结出一般的方法或模式（这就是所谓的“解题策略”），以便在今后的类似情况中得到重要的启发。

　　波利亚还明确指出，一些定型的建议和可以被看成“数学启发法”的主要内容，特别是，“可能任何类型的思维守则都在于掌握和恰当地运用一系列合适的提问。”④ 这就十分清楚地表明了“提出问题”与解题能力之间的重要联系。

　　以下就是波利亚针对解题过程的各个主要步骤所提出的一些启发性的问题⑤：

　　第一，“弄清问题”。未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

　　第二，“拟定计划”。你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

　　第三，“实现计划”。你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？

　　第四，“回顾”。你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能把这结果或方法用于其他的问题？

　　由此可见，适当地提问题事实上是“解题策略”的一个重要组成部分。当然，提问的恰当性不仅是指“在解题过程的不同阶段应当提出不同的问题”，而且也是指我们应当根据具体情况灵活地去运用这些“问题模式”——从而，就如我们不应将“解题策略”简单地理解成可以机械地用于解决各种问题的“万能方法”，我们在此也不应将“提出问题”看成某些现成策略的简单应用，这同样也是一种创造性的劳动。

　　2． “继续前进”与问题提出。

　　对于解决问题能力的突出强调，正是20世纪80年代在世界范围内盛行的“问题解决”这一数学教育改革运动的主要特征。然而，相关的实践又已表明，这一运动也有着明显的局限性，特别是，在相关的教学活动中，无论是学生或教师常常都只是满足于用某种方法（包括观察、实验和猜测等）求得问题的解答，却忽视了还应进行进一步的思考和研究，如在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍性的理论，这些事实能否被纳入某个统一的数学结构，等等。而这些又正是数学思维的一个重要特点。

　　正是基于这样的认识，人们明确提出：“求取解答并继续前进。”又由于“前进”的关键在于如何能由已完成的工作引出新的研究问题，因此，这也就从又一角度更为清楚地表明了学会提出问题对于数学学习的特殊重要性。

　　以下就是这方面常用的一些策略。

　　（1）一般化。这就是指，如何能对已获得的结果作出推广以求得更为一般的结果。

　　例如，在掌握了“三角形的内角和为180°”以后，我们就应进一步去思考如何能够求得四边形、五边形乃至n边形的内角和，也即如何能将所获得的结果由三角形推广到一般的多边形？另外，“如何能由长方体的长、宽、高求取它的对角线”，显然就是将以下的问题由平面推广到了空间：“如何由长方形的长和宽去求取它的对角线”；以下则是这一问题的进一步推广：“已知平行六面体从对角线的一个端点出发的三条棱的长度以及三棱间的三个夹角，求对角线的长。”“已知正八面体的棱，求其对角线的长。”……

　　（2）求变（加大难度）。除去“一般化”以外，如何能将问题变得更难一些显然也是发展与深化认识的一个重要途径——这也就是这里所说的“求变”的主要含义。

　　例如，在解决了通常意义下的“幻方问题”（指如何在“九宫格”中分别安放1、2、3、……9这样9个数字，并使得每一行、每一列、每条对角线上数字的和都相等）以后，我们就可通过“加大难度”引出如下一系列新问题，通过求解这些问题我们便可更好地理解相关的解题策略：

　　第一，原先所用到的数字是1到9，能否用2到10这9个数字去完成同样的工作？又能否采用87到95这9个数字？

　　第二，能否用3、6、9、12、15、18、……27这9个数字去完成同样的工作？或是用1到9这9个数字的其他倍数？

　　第三，能否用5、8、11、14、17、20……29这9个数字去完成同样的工作？或是任何一个算术级数？