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数学课里的“研究味”

教学内容:人教版五年级《最大公因数》 执教教师:山东省日照市新营小学 丁海红 点评教师:山东省日照市新营小学 程 敏

发布时间:2016-03-30 来源:中国教师报

  起 因

  学完了因数、倍数和分解质因数后,学生追问了许多关于分解质因数的问题。我顺着学生的思路,给他们布置了一个小课题:有一张长方形纸,长16厘米,宽12厘米,如果要剪成若干个同样大小的小正方形且纸没有剩余,剪出的小正方形边长可能是几厘米?最大是几厘米?(边长取整厘米数)

  在学生解答之后,我又给他们布置了另一个小课题:任意两个数,怎样找它们的公因数和最大公因数,学生们又投入到积极的研究中……

  师:我们已经学过因数与倍数的有关知识,谁来说说12的因数有哪些?16的因数呢?这节课老师要看看谁是咱们班最有智慧的数学家。

  【评析】引导学生回顾因数与倍数的有关知识,暗示它们之间存在一定的联系,为小组的展示交流做铺垫,同时激发学生求知的欲望。

  

  师:课前,老师给大家布置了研究任务,现在就来展示你们的研究成果吧!

  第一小组:大家请看图,如果剪成的小正方形边长是1厘米,那么16厘米长正好能剪16个1厘米,12厘米宽正好能剪12个1厘米,16×12=192,所以能剪192个边长是1厘米的小正方形。我们认为剪出的小正方形边长可能是1厘米。

  (同上,该小组依次介绍了边长是2厘米  和4厘米的情况)

  综上所述,我们组认为剪成的小正方形边长可能是1厘米、2厘米、4厘米,且最大是4厘米。

  生:你们为什么不选择剪边长3厘米、5厘米或6厘米的小正方形呢?

  第一小组:3不是16的因数;5既不是12的因数,也不是16的因数;6不是16的因数。要想把这张长方形的纸剪成若干个同样大小的小正方形而没有剩余,剪出的小正方形边长必须是12的因数,也必须是16的因数。

  【评析】教师布置的研究任务从实例的感知入手,学生在实践中获得数学体验,逐步形成数学概念。第一小组面对其他学生的质疑回答得有理有据。

  

  师:第一小组是用画图的方法进行研究的。看第二小组是怎样研究的?

  第二小组:开始我们也是用画图的方法得出结论:小正方形边长必须是12和16共同的因数,既然这样,我们就没有必要再画图了,这样太麻烦。

  我们找出16的因数(1、2、4、8、16),再找出12的因数(1、2、3、4、6、12),它们共同的因数是1、2、4,其中4是最大公因数。所以小正方形边长可能是1厘米、2厘米、4厘米,最大是4厘米。

  师:刚才第二小组找出12和16共有的因数,其中4是最大公因数。今天我们就学习最大公因数。(板书课题)

  【评析】这一组学生不仅仅停留在完成教师布置的研究任务上,而且思考了怎样更简单地解决问题,教师适时点出最大公因数的概念,引出课题。

  

  师:课前,许多同学对怎样找两个数的最大公因数进行了研究,现在我们就看看他们是怎样研究的。

  第三小组:我们组找到了一种比较简单的方法,先找出其中一个数的因数。例如18和27,先找出18的因数(1、2、3、6、9、18),再看看18的因数中哪些也是27的因数。其中1、3、9既是18的因数,又是27的因数,所以1、3、9是18和27的公因数,9是18和27的最大公因数。

  生:这种方法要一个一个把因数列出来,比较麻烦,有没有节省时间的方法?

  第三小组:先列较小的数的因数,看这些因数中哪些也是较大的数的因数。

  师:刚才第三小组的同学用了列举的方法求出了两个数的最大公因数,现在看看这几道题应该怎样做。

  ⑴ 8的因数有( ),9的因数有( ),它们的公因数有( ),最大公因数是( )。

  ⑵ 20的因数有( ),20和30的公因数有( )。

  ⑶ 16 和 18 的最大公因数是( )

  A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

  【评析】找两个数的最大公因数,方法不是唯一的。第三小组用多种方法找出两个数的最大公因数,展示非常自信。老师设计的练习题较有层次,目的是检验全体学生是否掌握了求最大公因数的方法。

  

  师:在找两个数的最大公因数时,有的同学还发现了一些特殊情况,让我们听听他们的研究吧!

  第四小组:前面一组同学研究的方法我们小组也进行了研究,在研究的过程中,我们举了大量的例子,发现了一种特殊情况。例如:5和7,2和9,10和11。

  5的因数有1、5,7的因数有1、7,5和7的公因数只有1,所以最大公因数是1。

  师:像刚才第四组同学研究的这些数,公因数只有1的两个数,叫互质数。

  第四小组:我们小组在研究公因数只有1的两个数时,开始认为只有两个质数才有这种关系,例如3和5,11和13等,可经过进一步研究,发现有的合数也有这种关系,例如14和15、25和27等,还有的一个是质数一个是合数,例如5和6、18和19等。由此我们认为,公因数只有1的两个数,可能都是质数或可能都是合数,也可能一个是质数,一个是合数。

  生:请问1是质数还是合数?

  第四小组:1既不是质数也不是合数。

  生:既然1不是质数也不是合数,说明除了你列举的3种情况外,还有1和任何非0自然数都是互质数。我还发现,只要两个相邻的自然数,它们的公因数只有1,最大公因数也是1,例如2和3,10和11……

  师:也就是说,0除外的两个相邻的自然数都是互质数。对吗?真棒!

  生:我还发现,互质数的两个数中,至少有一个是奇数。

  师:是这样吗?为什么?

  生:如果两个数都是偶数,这两个数肯定有公因数2,那就不是互质数了。

  师:太棒了!大家鼓励一下。

  第五小组:大家看,4和8的最大公因数是几?为什么?因为4的最大公因数是4,4又是8的因数,所以4和8的最大公因数是4。那么,5和25的最大公因数是多少?为什么……

  由此,我们组认为,如果较小的数是较大的数的因数,那么它们的最大公因数就是较小的数。现在来考考大家,5和15的最大公因数是几?6和24,8和32呢?

  【评析】学生在教师的指引下步步深入,教师给学生充分思考的空间,孩子才会有许多惊喜的发现。学生在展示时格外自信,俨然当起了小老师。

  

  第六小组:前面我们已经学过用短除法把一个合数分解质因数,我们能不能用分解质因数的方法求两个数的最大公因数呢?例如24=2×2×2×3,36=2×2×3×3,2、2、3既是24的质因数,又是36的质因数,那么2×2×3=12,12就是24和36的最大公因数。也就是说,这两个数的最大公因数是它们共有的质因数的乘积。

  我来考考大家,15=3×5,25=5×5,15和25的最大公因数是几?

  生:我们会用短除法分解质因数,我想,求两个数的最大公因数能不能把两个短除式合为一个,用共有的因数去除呢?

  合并两个短除法

  2 | 18 30→用共有的质因数2去除

  3 | 9 15→用共有的质因数3去除

3 5→除到两个商除了1再没有其他的公因数为止

  把所有的除数乘起来,得出18和30的最大公因数是2×3=6。

  师:同学们真了不起,通过自己的努力研究出这么多求最大公因数的方法。其实,数学是一个神奇的王国,里面隐藏了许许多多奇妙而有趣的东西,只要我们肯动脑筋去研究,你就会发现许多其乐无穷的现象,就会变得越来越有智慧。

  

  【总评】纵观这节课,教师充分调动学生的积极性,激发学生的探究热情,为学生提供了一个展示的舞台,同时也创设了一个充满“研究味”的课堂氛围,真正实现了从“要我学”到“我要学”的转变。

  在课前,每个学生都做了深入研究,所以当他们在课堂上展示交流时,就出现了一幕幕精彩的质疑、争辩、讨论。面对别人的质疑、反驳,同组成员互相帮助、补充,一起应对。在这个过程中,学生不仅发展了思维,更重要的是,逐步养成了全面考虑问题和善于从别人身上取长补短的意识。

  在这样的课堂上,学生不仅对数学有了更好的理解,而且创新能力、合作能力、语言表达能力、逻辑推理能力都得到了提高。课堂上这种展示、交流、辨析的形式,更会对学生的学习方式产生积极的影响,并进一步影响学生对数学学习的情感、态度和价值观。

《中国教师报》2016年03月30日第5版 

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