让学生经历思维的辩证过程

“三角形分类”是北师大版小学数学教材四年级下册的内容，属于“图形与几何”领域中的“图形的认识”。三角形分类的过程是借助“个别”获得“一般性”结论的归纳过程。正如东北师范大学教授史宁中所言：“归纳推理是一个基于类的推理，归纳推理也适用于类形成的过程。”本节课借助超脑麦斯学具“千变万化”（简称“扣条”）完成了归纳教学的展开过程。

一、从具体到抽象，异中求同，通过共相得到类

（一）异中求同，发现分类线索

上课伊始，学生从观察生活中物体图片上的三角形到画出两个不同三角形再到用pad得到更多的三角形，将一个个具体的三角形逐渐抽象为一般的三角形。当教师依次追问“这无数的三角形有什么共同特点”“我们要研究三角形，你认为把无数个三角形一个一个进行研究，可行吗”“要给三角形分类，你认为可以从哪里寻找到分类线索”三个问题后，学生自然而然理解了将三角形的共同特征（顶点除外）中“3个角”“3条边”作为分类线索的合理性。

（二）异中求同，初步获得分类结果

师：拿出课前我们用“扣条”围成的三角形学具，观察它的每个角都是什么角，再看一看哪些三角形的角有共同特征，利用学具依据这些特征给三角形分一分类。（学生个人学习后小组进行交流与分享）

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    学习指南

    学习任务：观察三角形角的特征，给三角形分类。

    •独立学习（建议时间3分钟）

    1. 观察每个三角形的角都是什么角？看一看哪些三角形的角有共同特征。

    2. 用三角形学具实际分一分，分完后想一想这样分是否合理？

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师：哪个小组愿意与全班分享一下你们的分类过程和分类结果？并说清楚你们的分类标准。

生1：我们小组是按照是否存在直角把三角形分成了两类。有直角的为一类，没有直角的为另一类。（学具贴到黑板上）

师：大家看看这样分可不可以？有没有什么补充或质疑的？

生2：老师，我们最初也像他们这样分成两类。后来小组讨论时，就把没有直角的三角形进行了细分，最后分成了三类。3个角都是锐角的为一类，2个锐角和1个钝角的为一类，2个锐角和1个直角的为一类。

生3：老师，我们可以说得简单点，就是有直角的一类，有钝角的一类，三个角都是锐角的一类。

……

以上是学生从众多三角形3个角的观察出发横向上“异中求同”的分类过程，是学生“通过共相得到类”的学习过程。

二、从个别到一般，同中求异，通过异相划分类

史宁中教授表示：“对于比较复杂的问题，在头脑中形成一个合理的分类绝不是自然而然的，这需要一个由混沌到清晰的思维过程。”当学生有了初步的分类结果后，并不是所有的学生都能明白这样分类的道理，思维处于“半信半疑”的“混沌”状态。因此，有必要对初步的分类结果进行辨析。

师：我们把这类中的3个锐角，也写成“2个锐角和1个锐角”。那么，三类三角形中都有了2个锐角，大家想一想，这样的“2个锐角”能不能作为区分它是哪一类三角形的标准？

生：不能。

师：谁能？

生：排除每个三角形都有的2个锐角后剩下的第三个角就可以区分了。

师：（指板书）1直、1钝或1锐能区分，那它们也就成了每类三角形所独有的特征，这个独有特征就是这三类三角形的差异所在。

……

通过对三角形3个角特征的辨析，学生完成了纵向比较、寻找差异的“同中求异”的思考过程，实现了依赖“个别”三角形“通过异相划分类”的分类目的。为深入体会分类思想，获得一般性结论，师生又展开了进一步的操作体验。

师：刚刚我们借助三角形学具按照角的特征将三角形分成了三类。记得刚上课时，同学们在pad里感受到有无数个千变万化的三角形。那么，是不是所有的三角形都能归入这三类当中呢？有没有不属于这三类的？（学生用pad操作体验）

生：都能分到这三类里，没有不属于这三类的。

师：现在老师也拖动一个三角形，这是什么三角形？

生：直角三角形。

师：老师拖动直角所在的这个顶点，不断地向上拖动，你来说一说它变成了什么三角形？

生：锐角三角形。

师：我们这次再从直角三角形直角所在的顶点不断地向下拖动。现在是什么三角形了？

生：钝角三角形。

师：通过刚刚的操作与观察，你有什么发现？

生1：我发现，当下面的两个角为锐角时，第三个角是什么角这个三角形就是什么三角形。

生2：直角三角形处在中间，有区分锐角三角形和钝角三角形的作用。

生3：我感觉直角三角形像一个分界线。

……

学生通过再次操作pad和观察分析，进一步体会到无论是哪类三角形，都至少有两个锐角，要判断一个三角形是什么三角形，关键要看第三个角。“第三个角”便是区别不同类三角形的“异相”，这正是直角三角形是锐角三角形和钝角三角形的分水岭的道理所在，分类结论具有了一般性。有了基于“角”特征进行分类的活动学习经验，按照“边”特征进行分类自然不是问题。无论是按“角”还是按“边”给三角形分类，学生都经历了从“通过共相得到类”到“通过异相划分类”一个类的形成过程，这一过程就是学生归纳思维发展的过程。

（作者单位系东北师范大学附属小学，本文系吉林省教育科学规划课题：依托“超脑麦斯”课程提升小学生数学核心素养的实践研究GH171422）

《中国教师报》2020年09月23日第5版