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数学的邀请:数学只是一种发明,为何还那么有用?

发布时间:2021-11-15 作者:李韧 来源:中国教育新闻网

我要一次又一次地说明,所谓的数学发现称为数学发明更为确切。——路德维希·维特根斯坦


维特根斯坦反复强调:“我要一次又一次地说明,所谓的数学发现称为数学发明更为确切。”维特根斯坦认为,不论是数学实体还是数学真理都是数学家的发明而非发现。

实际上,这触及了所有数学家不肯正视的话题:所谓数学和逻辑的严谨性——有些人愿意称作为理性,不过是人类发明的一种语言体系。

古人创造数学这门语言的目的,是尝试描述藏在世界背后的真相并获得实用价值,但是,人类最后能否找到这种真相,或是精确描述该真相,却和我们运用的语言本身的严谨与否,没有直接关系。

简单来说,是获得真理更重要,还是获得真理的证明更重要?当然,如果真理的价值就在于其是否为真,那么,对真理的证明当然重要。我们在乎的是用锤子做成的椅子,而不是锤子本身或者做椅子的过程,虽然锤子和过程会影响做出的椅子。

然而,我们除了检查锤子本身的结构或做椅子的过程,从内部来证明做成的椅子是同一的椅子,也就是正确的“椅子”,我们还可以,或更多地是直接从外部检查做成的这把椅子是否有用、是否一样。在这里,所谓正确,即内部(结构、过程)同一。

特斯拉的车,无论在美国还是上海生产,无论是5年前还是现在生产,工厂内部只要按照相同(即正确的)数字标准,相同的(即正确的)生产过程,就能生产出相同的汽车商品。

因而,数学中那些看上去天经地义不可置疑的东西(比如三角形任意两边之和大于第三边),并非新增了某个关于世界的事实,而只是换了一种说法(任意两边之和大于第三边其实就包含在对三角形的定义中)。

维特根斯坦说,“数学仅仅是一门语言,并不严密更不神秘。”而依照维特根斯坦著名的“语言游戏论”来推论,那么,作为一种语言的数学,也不过是一种游戏而已。

因此,数学只是一种语言游戏,但为何却如此有用?

虽然从数学(数量)上,变来变去,都是一样的,看起来没有什么意义,就像玩游戏一样。然而 ,物体不只有数量这一种性质。

例如,1x6方格组成的长方体,与2x3方格组成的长方体,从数量上是一样的,从数量上是一样的,但是,1x6长方体可以从1格的小洞中出来,2x3长方体则不行。就像我们日常生活中的寓言,长竹竿横竖都出不了门,只有直着才能出门。正是,这种2x3到1x6的变化,单从数量这个性质上看,像是一种游戏,非常无聊。

然而,却解决了问题,非常有用。为什么?

虽然长方体从数量上没有变化,但是,从形状上有了改变,从而,让这种无聊的不变有了意义。

不过,这种有意义并非从数学本身内部产生,而是来自数学之外。

但反过来说,数学特别之处,或者说特别有价值的地方,就在于变来变去还能保持数量上的一致,即准确。

数学的这种一致,带来的最大作用,首先体现在人类文明通过数学的分割,可进行多人多年的合作,而让人类文明成果有所累积,不拘于一人一世。

数学作为人类实践工具的强大有效,并不是来源于其天然的永恒正确,而恰恰相反,是来自于其对于现实的某种曲解,对现实不同程度的分解与简化。这种分解与简化,让人类的实践可以累积与合并,从而带来持续的和规模上的实践成果。

遵循数学的方式,让人类的努力,在一时一事中遵循数字显得僵死愚笨,而在百世千代的事业中则显出辉煌伟力。这一点,可以从亲近数字并奉数学为皋臬的商业与科学一日千里的发展,而其他人文学科则循环徘徊难有长进。

历史学家黄仁宇认为中国古代社会长期未能实现大突破,始终难以走出历史的循环,至近代更是落后于西方,关键在于中国始终未能实现“数目字管理”,便是直觉到了数学的巨大威力。


【书单推荐】

这5本书让你三分钟了解数学。

只要你为你的生命驻足一刻,就可以和数学来一次亲密接触。


《最后的数学问题》

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作者: [美]马里奥·利维奥(Mario Livio)

出版社: 人民邮电出版社

译者: 黄征

出版年: 2019-8

人类思想史上每一次突破性发展,几乎都与数学史上的大发展息息相关,他们的共同特点都是冲破各种阻力,打破现实桎梏,解放禁锢的思想。

笛卡尔发明解析几何,将几千年来的几何与毫不相关的算术关联起来。而黎曼几何的发明,又冲击了当时的整个几何与数学体系,甚至包括哲学体系,因为著名的哲学家康德就是以欧几里德几何为一切理性批判的基础。

其实不仅仅数学,其他学科(如物理学)和其他领域(如互联网)也同样是这样的。数学的形式是人类发明的,而数学的本质是人类发现的。

这本书讲述了数学的演化过程,从科学、哲学、历史、文化角度全方位地探讨了数学的本质,揭示数学与物质世界、与人类思维之间的微妙关系。


《数学与生活(修订版)》

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作者: [日] 远山启

出版社: 人民邮电出版社

译者: 吕砚山 / 李诵雪 / 马杰 / 莫德举

出版年: 2014-10

这本书贯通多学科知识,结合日常生活和东西方各国脍炙人口的故事,用通俗易懂的语言,将数学知识和原理交织呈现,犹如一本有趣的故事书。

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拥有了数学工具,我们就可以把那些我们想当然的事情看得更透彻,从而做出正确的决策。


《万物皆数》

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作者: [法] 米卡埃尔·洛奈(Mickaël Launay)

出版社: 低音·北京联合出版公司

译者: 孙佳雯

出版年: 2018-12

数学无处不在的威力从何而来?

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《数学世界的探奇之旅》

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作者: 布赖恩·克莱格 (Brian Clegg)

出版社: 中信出版社

译者: 胡小锐

出版年: 2017-10-1

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《魔鬼数学》

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作者: [美] Jordan Ellenberg

出版社: 中信出版集团

译者: 胡小锐

出版年: 2015-9-5

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