走进奇妙的三角形世界

•教学背景

学生学习数学概念一般要经过从具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡。在教学中，教师要尽可能联系学生的生活经验和前概念知识，运用各种直观因素，让学生借助充分的感性材料，发现、总结一类事物的一般特征和本质特征，从而辅助其建构抽象的数学概念。学生在一年级下册的学习中已经认识过三角形，也通过四年级上册的学习知道垂直的概念和平行四边形、梯形的高。人教版数学四年级下册《三角形的认识》一课着重通过“操作—辨析—共识—判断”的课堂形式，引导学生进行数学概念建构，深刻理解概念的本质，发展数学抽象、直观想象、转化思想等核心素养内涵。

•课堂实录

情境导入

师：首先我们来欣赏一组图片，仔细观察你能从图片中看到三角形吗？

（出示图片：古埃及的金字塔、现代的建筑物、起重机、巨大的钢架桥）

生1：金字塔的外面是三角形，高架桥中有许多三角形。

生2：建筑物的屋顶是三角形，起重机固定的支架是三角形。

师：原来生活中存在着这么多三角形，今天我们就一起来学习三角形。

三角形的概念

师（板书“三角形的认识”）：看到三角形三个字，你想研究三角形的哪些内容？

生1：三角形有哪些特征？

生2：什么样的图形叫作三角形？

生3：三角形的高指的是什么？

师：同学们提的问题非常有价值！现在我们就先来解决什么是三角形，请大家用小棒拼一拼或者在本子上画一画，创造一个三角形吧！

（学生动手“创造”三角形）

师：现在请一个小老师介绍一下自己是如何创造三角形的。

生1：我将3根小棒连起来拼成了一个三角形。

生2：我在本子上画了3条连起来的线段，就画好三角形了。

师：不管拼一拼还是画一画，我们都用到了什么？

生（齐答）：3条线段。

师：那么大家观察一下，本来每条线段有2个端点，3条线段应该有6个端点，但为什么大家创造的三角形只有3个端点了呢？

生3：因为每相邻两条线段的端点相连。

师：现在你能结合刚才创造三角形的过程说一说什么是三角形吗？

生4：三条线段组成的图形叫做三角形。

生5：我觉得除了三条线段，这三条线段还必须首尾相连围成。

师：说得很好，像这样三条线段围成的图形叫作三角形。

师（课件演示）：在课前做的练习中，我们也一起判断了什么样的图形是三角形，老师对同学们的判断结果做了一个统计，请看大屏幕。现在你能运用刚学的知识来解决一下吗（见上图）？

师：最后一个图形有这么多人发生分歧，现在你更支持哪个观点？为什么？

生6：最后一个图形的三条线段没有首尾相连围成，所以不是三角形……

师：认识了三角形后，谁愿意根据自学成果分享一下自己标注出的三角形各部分的名称。

生7：三角形有三个顶点、三条边、三个角。

生8：三角形还可以用字母来表示，“△ABC”。

生9：三角形还有“高”和“底”。

三角形的高

师：同学们在自学过程中都提到了三角形的高，老师这里有一个三角形，它的高在哪里？谁能指一指？

生1（边说边比划）：三角形的中间画一条垂直的线。

生2：从三角形的顶点到一条边垂直。

师：那就请同学们尝试着画出三角形的高，想一想，你准备怎么画，用什么工具？

生1：量角器。

生2：三角尺。

（学生上黑板展示画高的过程）

师：这位同学画高的过程介绍非常完整……老师也将画三角形高的方法做成了一个微课，我们一起来欣赏一下：先找准三角形的顶点A和对边BC，用三角尺的一条直角边与三角形的一条边重合，另一条直角边慢慢平移到顶点，然后画一条垂直线段，作上直角标志，AD就是三角形的高，高一般画成虚线，BC就是三角形的底。

师：同学们，看清楚了吗？你能将我们刚才介绍的画高方法用简短的话语归纳一下吗？

生3：重合底与一条直角边，移动量角器重合顶点与另一条直角边，画一条垂直线段，标上直角标志。

生4：一合二移三画四标。

师：这个画高的方法有没有给你一种似曾相识的感觉，我们在前面学习哪个知识中也用到过？

生5：画垂线段。

生6：过直线外一点作这条直线的垂直线段。

师：按照这个方法，给它再围上两条线段就变成了画三角形的高了。

生7：原来我们学习的知识之间竟然有这么神奇的联系！

师：结合刚才画高的过程，同桌交流一下什么是三角形的高。

生8：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高，这条对边叫作三角形的底。

生9：我觉得三角形的顶点到它的对边的垂直线段就是三角形的高。

师：现在我将这个三角形旋转了一下，你还能找到BC底边上的高吗？

生10：我在心中去掉了AB和AC两条边，就跟过直线外一点画这条直线的垂线方法一样。

师：那如果我再旋转一下，你还能找到吗？

生11：还是找到顶点A，向对边作一条垂直线段。

师：通过这几次三角形的位置变化，你有什么发现吗？

生12：不管三角形的位置怎么变，只要从顶点A向对边BC作一条垂直线段，就是三角形的高。

生13：不管三角形位置如何摆放，只要是从三角形的顶点出发，向对边作的这条垂直线段就是三角形的高……

师：我们找到了BC边上的高，那你觉得这个三角形只有这一条高吗？先思考一下。

生14：我认为是1条。

生15：不对，我认为有3条，3条边就有3条。

生16：我想补充，因为三角形有3个顶点和3条对边，从一个顶点就能向对边作一条高，所以三角形就有3条高。

师（课件补充完整3组高和底）：现在有了这么多的高和底，你还分得清哪条高和底相对应吗？

生17：高和底是一组一组地出现的，一条底对应着一条高。

师：那就请你画出练习纸中指定边上的高吧。（故意地）我找不到这个直角三角形的高在哪里！

生18：直角三角形的一条直角边是底，另外一条直角边是它对应的高。

师：这个钝角三角形的高在哪里呢？

生19：它的高只要任意画一条垂直线段就好了。

生20：不对，这条底的高应该从对面的顶点出发作它的垂直线段，只是这条高“跑”到三角形的外面去了。

师：你形容得真贴切！

感悟特殊的高

师：同学们，真了不起，我们都能顺利地找到三角形中的高了。请同学们仔细看，老师这里还有一个三角形，我把这个三角形放在两条平行线之间，现在如果让这个顶点A沿着这条平行线跑动，请同学们想象一下，会发生什么情况？

生1：三角形的形状会发生变化。

生2：三角形的面积变了。

生3：三角形的高会左右移动，有可能会跑到外面去。

师：和你们的猜测一样吗？现在我要慢慢移动顶点，请你们仔细观察三角形的高，它的位置发生了什么变化吗？高从外面到里面会经过哪个地方？

生4：原来三角形的高不仅可以在三角形的里面，还可以在三角形的外面。

生5：三角形的高有时还会和它的一条边重合。

生6：三角形的底不变，高的位置会随着顶点的位置变化而变化。

（关于三角形的研究继续深入下去）……

•课后反思

着手起点：在备课之前，我对本校四年级学生进行过三角形概念的前测，发现大部分学生都是从三角形的组成和特性去定义三角形的概念，缺乏合乎逻辑地对三角形的概念进行定义。教材中是采用发生式定义方式介绍三角形的概念，而学生没有经历过概念定义的发生过程，自然无法形成正确的三角形概念定义。因此在教学中，我特别重视三角形概念的发生过程，通过拼一拼、画一画三角形等数学活动，让学生在操作感悟中得出三角形概念的定义，实现概念的有效建构。

着力难点：学生在形成三角形高概念的过程中容易受到非本质属性的影响，因此需要教师通过教学行为，引导学生对概念本质的关注，凸显数学概念的本质内涵。所以课堂中我先让学生在头脑中想象三角形高的形成过程，然后经过三角形不断旋转，让学生认识到无论三角形的位置如何变化，高就是从顶点出发到对边的一条垂线段，真正厘清三角形高的本质，从而建立三角形高的概念。随后借助几何画板移动，让学生直观地看到三角形顶点和高是同步移动的，从而认识和感知特殊的高。

着眼结点：三角形高的理解掌握过程需要对三角形“三条边、三个顶点、三个角”的基本特征与“高”的概念之间建立相应的联系，并认识到与其他图形不同，三角形的高需要画在三个特定的位置，故三角形的“底”和“高”规定为3组，这样就能形成知识的整体性，最终形成完整的概念建构。而三角形的高的前概念就是四年级画垂线，这就需要教师在教学中有意识地将画三角形高这个新概念纳入到学生已有的概念结构中。教学中，我将画垂线与画高方法的结合，就更好地将学生所学的“概念点”织成“概念网”，构建出画高的模型。

（作者单位系浙江省宁波市北仑区小港实验学校）

《中国教师报》2019年05月15日第5版