“确定起跑线”的教学重建

最近，“全景式数学教育”对“综合与实践”这个领域的难点课题“确定起跑线”进行了专项研究，我与4名教师进行了同课异构。

活动目标：让学生学会用数学的眼光观察跑道中的起跑线位置，发现并提出相应的数学问题，然后用数学的语言，简约、精确地描述、刻画和表达起跑线问题。

能够从数量关系和形式关系的角度尝试分析起跑线问题，探究其背后的数学规律，并通过逻辑推理与数学运算等多角度分析，找到多路径的解决方案，形成相应结论，建立解决此类问题的模型结构，能够灵活、创新性地解决生活中的相关问题。

课堂上我设计了这样的活动：

活动一：四驱车比赛中的数学问题

一、课前自探——致同学们的一封信

还未曾谋面的同学，你好！

我是张宏伟老师。相信经过小学系统的6年学习，你一定有了这样的深刻体验：为了更准确、简捷、优美地表达现实世界，数学常用点、线、面、体等图形或符号来表示自然和生活中的一些现象，如图1。

用点A表示张老师的四驱车，用点B表示你们班宋叶青老师的四驱车。

用内、外两条圆周曲线来分别表示张宏伟和宋叶青老师的四驱车行驶轨道。

比赛规定：两辆车同时从冲刺线启动出发，谁先到达冲刺线谁就获胜。

1. 你觉得这样的比赛规定有问题吗？如果有，怎么解决？

【以上是“课前自探”的正面一页，下面留有空白，以便让学生书写自己的思考和算法。下面的第2、第3题则打印在反面，以期让学生在充分独立思考和演算的基础上再推演第3跑道，猜想规律】

2. 如果你们学校的伍校长也来参加四驱车比赛，在第3个轨道上，伍校长发车点应该在哪里？（第2和第3轨道之间的道宽也是1米）

3. 猜想第4、第5、第6……跑道的发车点和其中的规律。

二、课中研究

（一）小组交流课前自探的研究情况。

（二）问题1反馈：

1.全班学生一致认为：这个比赛规定有问题——不公平！因为宋老师跑道半径大，跑道比张老师的跑道长6.28米。全班都只提出了一种解决方案：宋老师的发车点比张老师向前提6.28米。

2.我表示质疑：难道只有把宋老师向前提6.28米这一种解决办法吗？

学生又陆续想出以下几种方案：

（1） 张老师后退6.28米出发。

（2） 张老师后退3.14米，宋老师往前3.14米。

（3）换成两个直道比。

（4）都在同一个跑道比，张老师先跑，然后宋老师再跑，计时，然后再比。（这个方法，获得了学生的一致认可）

师：是啊，其实一个跑道挨个计时就行了，怎么许多比赛还要做那么多跑道非要一块比呢？

学生立刻明白了什么——

生1：这样人多了，很浪费时间！

生2：一块比着跑，能刺激人跑出更好的成绩。

生3：观众看着来劲。

师：真棒！就是更具观赏性！其实许多事情都像比赛这样，还要考虑数学之外的其他因素。在实际比赛中，通常会选择同学们一致认同的第一方案，把外道的出发点往前提，这说明大家对数学的感觉还不错。

（三）宋老师向前6.28米处出发，是怎么计算出来的？

一名学生说着，教师板书如下：

两圆周长差：外圆周长-内圆周长

4×2×3.14-3×2×3.14

=25.15-18.84

=6.28（米）

师：还有不同的方法吗？（全班学生都没有）

（四）引导学生探究两圆周长差的方法。

师：有一种算法叫不算而算。看，求大圆周长和小圆周长的式子里都有什么？（生：3.14）

有学生急切接道：把3.14提出来！

教师启迪没有想到的学生：你明白他的意思吗？他是联想到了哪个运算定律来解决这个问题的？

等待全体学生都举手后，教师让一个学生说，并板书如下：

4×2×3.14-3×2×3.14→

（4×2-3×2）×3.14

引导学生解析算式各部分名称，得到求两圆周长之差的第二种方法：

直径差×π。

师：你能再进一步推想下去吗？

学生很快想到“2”也可以提出来，又推出求两圆周长之差的第三种方法：

道宽×2×π。

最后形成的板书如图2。

活动二：奥运会跑道数学问题（课中）

（一）出示奥运会400米标准跑道俯瞰图及其简介1：国际400米标准跑道，是指最内侧的跑道（即第1道）的全场是400米，从内到外一共8条道。

（二）观看奥运会400米比赛视频。

（三）定格视频中起跑点一帧画面，让学生观察8位比赛选手的起跑位置。

（四）提出问题：如果要确定2-8道选手的起跑线位置，你认为必须测量出哪些数据？

学生的反馈依次为：直道的长度、弯道的直径或半径、道宽。

我停顿、微笑看着学生，等待着……

不一会儿一个学生高呼：直道不用测，因为……

我立刻制止了他，面对全体学生：因为什么？

学生立刻明白了其中的缘由：8条跑道直道的长度都是一样的，造成跑道长度差的原因是两条弯道。

（五）打通。

师：你觉得奥运会跑道和刚才的四驱车跑道有关系吗？

生1：两个跑道可以合成一个圆。

生2：因为直道都一样，可以不看，这样奥运会跑道的差，其实就是两个圆的周长差，与四驱车跑道中的跑道差就一样了。

教师再次点拨：你们说过的需要测“直道、弯道直径或者半径、道宽”。学生恍然大悟：不需要测量“弯道的直径或半径”，只要测量出“道宽”就可以了，然后用“道宽×2×π”。

教师笑道：以后再求这样跑道的起跑线位置，你还会傻傻地测周长、测直径、测半径吗？

生：不会了，只要测量道宽就可以了！

师：是啊，多美妙！那原来你们为什么说要测那么多数据？

生：原来只知道用大圆周长减小圆周长。

师：看见没，要想简捷、迅速地解决问题，就要多角度思考，探寻更多的解决问题的路径和方法。

（六）教师出示奥运会标准跑道简介2：奥运会标准塑胶跑道，最内侧的跑道半径为36.5米，跑道宽度为1.22米。问：起跑点怎么确定？

生：1.22×2×π。（教师揭示：为了更加精确，这里的π计算时一般取值3.14259）

（七）出示奥运会200米比赛示意图，让学生确定起跑点。

学生很快一致推出：差源于一个弯道，相邻两道的起跑点依次向前“道宽×π”。

（八）800米比赛呢？

生：四个弯道的差，即“道宽×π×4”。

师：哈哈，800米及以上的中长跑，奥运会中的规则和你们算的不一样，它们的起跑点怎么安排，原因又是什么？课下你们上网了解。（拓宽学生视野，更多了解奥运会径赛常识）

活动三：校验学校操场的起跑线（课后）

课后，请学生一起去操场校对、检验施工队给学校操场跑道画的起跑线对不对。如果不对，写出书面报告交给校长，校长会找施工队重新施工、改正。（安排这个班的数学宋老师跟进）

临下课时，我突然又问了学生一句：对了，你们到操场上只要测量什么就可以了？

学生一起高声回应：道宽！

（作者单位系江苏省南京赫贤学校）

《中国教师报》2021年07月07日第5版