“有意义”与“有意思”

《从有意义到有意思：〈新周刊〉生活观》是《新周刊》20周年系列丛书之一，而我这里要说的“有意义”与“有意思”，是从教育的角度来谈谈数学的“有意义”与“有意思”。

第一，好的教学内容应该是“有意义”的。教学内容的“有意义”体现了其价值性。随着信息时代的来临，知识正以几何级数的增长速度进行裂变。有限的时间、精力和海量的信息、知识完全无法精准匹配。在个体的生命长河中，学习必要的、重要的知识成为我们选择内容的重要原则。必要的知识，是人类认识世界的普适化基础性知识；重要的知识，是个体探索世界的个别化差异性知识。

从这个角度来说，对于教学内容的选择，“有意义”应成为第一法则。比如，以二元二次方程为例。从现实情况来看，许多人在生活中都不会使用二元二次方程解决实际问题。但如果我们关注到二元二次方程的学习可以帮助学习者建立关于方程的全局认知，就会读懂知识的意义。知识获得的背后是认知方式，而系统思维、全局认知恰恰是二元二次方程这个看似无用的知识所承载的重要价值。在小学数学教学中，类似的在实际生活中用得少，但对于学生形成整体认知结构大有裨益的内容还有许多。比如公顷和平方千米，作为土地面积单位对于个人而言不一定高频使用，但是借助面积单位的创造原则进行不断推广和延伸，对于培养学生的系统性思维与全局性认知起到了非常重要的作用。

第二，好的学习内容应该是“有意思”的。“有意思”不仅在内容上呈现出“有料”，还会在体验中感受到“有趣”。苏教版的《可能性》就是这样一个好的学习内容。编者设计的是摸球游戏的情境，在一个口袋中装有1个红球1个黄球，可能摸到什么颜色的球？借助生活中的游戏经验，学生能够预想任意摸出1个球，可能是红球也可能是黄球。而在后续的“有意思”的摸球活动中，学生能够充分感受随机现象的特点。每次摸1个球，可能摸到红球，也可能摸到黄球。上一次的摸球结果，对下一次没有影响。每一次摸球，都是一个独立事件。随后教材安排了一个装有2个红球的口袋，在这个口袋中任意摸一个球，会是什么球？借助已有的实验经验，学生能够感受到每次摸出的可能是这个红球也可能是那个红球，但摸出的一定是红球，不可能摸到黄球。这样，就在认识随机现象的基础上，进一步对确定性事件与不确定性事件有了深刻的体验。

除了教材上的摸球游戏，教师还可以设计摸牌、掷色子、转盘游戏、抛硬币实验等。同时，还可以介绍教材中著名科学家进行的抛硬币实验，通过正面朝上、反面朝上的数据，帮助学生进一步感受随机事件的特点以及可能性的大小。

第三，好的研究内容应该是既“有意义”又“有意思”的。有意义更关注价值，有意思更聚焦体验。尽管在课堂上教师始终都在教授已知的知识、已经验证过的事实和已经确立的法则，这些内容都以“有意义”为重要的遴选法则。但这些知识以什么样的形态呈现在儿童面前，以什么样的方式在儿童眼前展开，可以由师生共同商议、共同创造。这样的调整与改变，就可以让知识在“有意义”和“有意思”之间建构桥梁与链接。

比如，3的倍数特征这一内容，是学生后续学习质数、合数、互质数等的重要基础。如何让发现3的倍数特征的过程不仅承载“有意义”还能呈现“有意思”？基于已有的对于2、5倍数的特征认识，学生很容易借助联想提出“个位上的数是3的倍数，这个数就是3的倍数”这一猜想。在进行验证时，因很快发现反例从而判断此猜想不成立。看来“只看个位”此路不通，学生自然而然想到还需要关注其他数位上的数。借助计数器摆一摆3的倍数，会不会有新的发现？在操作、观察、比较、归纳中，学生通过合作与分享就能发现3的倍数的特征。

而高层次的“有意思”不会只停留在感性的操作层面，还会进入到理性的思考层面，从“是什么”的现象走向“为什么”的追问。通过讨论与交流，学生能用自己的方式进行初步的推理论证。以三位数为例，百位、十位、个位上的数分别为a、b、c，那么这个数就是100a+10b+c=99a+9b+a+b+c。99a和9b都是3的倍数，所以只需要讨论a+b+c是不是3的倍数，而任意多位数亦同此理。

在这样的过程中，内容与价值层面的“有意义”和过程与体验维度的“有意思”交相辉映。好的教学就应该让“有意义”与“有意思”交织在一起、融汇在其中，让教学发端于有意义，展开中有意思，延伸后有意蕴。

（作者系清华大学附属中学广华学校副校长、江苏省小学数学特级教师）

《中国教师报》2019年12月18日第4版