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数学的邀请:数学,仅仅是一种语言?

发布时间:2021-09-14 作者:李韧 来源:中国教育新闻网

数学命题仅仅是一种语法而已。——路德维希·维特根斯坦

1939年,20世纪乃至人类有史以来最伟大的两位数理逻辑天才:49岁的路德维希·维特根斯坦(逻辑分析哲学先驱)和27岁的阿兰·图灵(计算机之父)同期在剑桥大学分别开设了一门名叫“数学基础”的课程。

年轻23岁的图灵资历较浅,于是特意前往拜访,意图旁听维特根斯坦开设的课程。在谈论一些数学哲学和逻辑学的琐细问题后,维特根斯坦认为图灵具备旁听自己课程的“资格”。尽管图灵此时已发表一篇重要性用任何形容词都不会过分的文章《论可计算的数》,奠定了后来整个计算机科学相关数学和逻辑的基础。

图灵致力讲授的数学基础,是数学世界的逻辑证明,通过选取一组严密而简洁的公理,作为整个数学的逻辑起点,按照一定的规则,通过推导发展成为庞大的数学大厦,并试图验证这个过程在技术上存在哪些错误和局限。

而维特根斯坦意图讨论的“数学基础”,却貌似一种鄙夷数学的哲学原理,至少当时剑桥大学大多数钻研数学的师生们都倾向于这样认为。

而维特根斯坦也反复说:“我要一次又一次地说明,所谓的数学发现称为数学发明更为确切。”数学证明并不能够确立一项结论是真理,其只能确定一些数学符号的意义。

因而,数学中那些看上去天经地义不可置疑的东西(比如三角形任意两边之和大于第三边),并非新增了某个关于世界的事实,而只是换了一种说法(任意两边之和大于第三边其实就包含在对三角形的定义中)。

维特根斯坦说,“数学命题仅仅是一种语法而已。”

实际上,这触及了所有数学家不肯正视的一个信念:所谓数学和逻辑的严谨性——有些人愿意称作为理性,不过是人类的一种语言结构。

古人创造数学这门语言或符号系统的最初目的,是尝试描述藏在世界背后的真相并获得实用价值。但是,人类最后能否找到这种真相,或是精确描述该真相,却和我们运用的语言本身的严谨与否,没有直接关系。

可惜的是,其后代却错误地认为加强这种语言的严谨性,能够引领人类接近世界的真正本质。

因而,当法国数学大师柯西17岁之前除了拉丁语和希腊语什么都没学过,17岁后才正式地接触数学,却运用语言学方法,重新阐释了微积分。尽管柯西的这种语言分析的做法,无疑是成功的,却还被数学界认为是破坏了牛顿微积分的艺术意义上的美。

数学只是一门语言,而更让人遗憾是,语言在传达核心信息时,无论其过程中多么准确和有效,但是,其传递之初来自于并不理性的感觉。

而柯西以后的数学家们,竟然还在坚持完善这门语言的逻辑性和严谨性,才是数学的旨趣,而根本遗忘了祖先们发明数学工具的本意。

这种观点直接导致了证明过程凌驾于结论,对这门语言严谨性的关注超过了语言所描述事物本身。

西方人习惯性地认为数学源自古希腊,因为数学在此前无尽漫长的岁月里从未要求过证明。

发明数学的古人,理所当然地认为,数学结果较之一连串数学证明,显然要重要得多。苏美尔人的数学是不讲证据的,这让许多现代数学家感到困惑。而这一点对古代社会来讲再正常不过,并绝非某种例外。埃及人、中国人和古印度人的数学中对过程的证明,也不过是某种附带的兴趣。得出数学结论的证明过程,只是其达到实用目标的工具,而非相反。

古希腊人改变了数学思维。因为数学在古希腊成为一种神学和宗教。这源于毕达哥拉斯。罗素说整个西方哲学史是柏拉图的注脚,而柏拉图可能是毕达哥拉斯的注脚。柏拉图曾进入毕达哥拉斯学派进行学习,并特别在自己的学园门框上刻字:不懂几何,勿进学园。

而当年毕达哥拉斯游历埃及、中东时,埃及人、巴比伦人已经会求解线性方程、二次方程,以及在毕达哥拉斯很久之前就知道了毕达哥拉斯数。毕达哥拉斯被埃及人、巴比伦人的数学成就惊服,当时有人把世界的本原归为神归为水归为气,比如西方第一个哲学泰勒斯认为世界本原是水,而毕达哥拉斯把世界的本原归为数。他认为万物皆数,把数学无限推崇的激情转化为一种神化的迷信。这是一种迷信当然也是一种敏锐。他还组织起关于数学的宗教团体,当有忠实门徒发现无理数威胁到其信仰时,他就残忍地偷偷带人将其杀害扔入爱琴海毁尸灭迹。

追因溯源来看,西方数学家(也包括哲学家)追求数学理性的方式,反而并不理性。古希腊人惊艳于东方几何数学的严谨理性,而由此升华为一种激情和信仰。不再关注几何数学本身,而是一力维护证明几何数学的正确性,试图将数学几何这种人类的有限实践方式,上升为追求终极的途径,并为以此通神,这本身就有点荒谬。

因而,数学从根本上致命的一个问题是:不论数学这门语言的结构何等工整严谨,其基础却并非出自理性的推导。

无论数学定理如何精准,然而作为其推论前提的数学公理本身,却没有证明。几何中对公理的定义,就是所有人公认的定理,而无须证明,也无从证明。这就好比建筑工程师一直在证明摩天大楼钢筋水泥的结构强度,却故意忽视这栋大楼建立在流动不居沙地之上的事实。

数学这门语言的出现,或者应当说是现代人对数学这门语言的误解,使得人类尝试探知实践宇宙的努力,本末倒置。

最终,数学家们殚精竭虑皓首穷年地论证数学推理过程中的准确性,最后回头却发现数学从一开头就没法证明其准确性。

任何语言的发明都是一种基于感性产生的结果,因为人类需要通过语言与现实进行沟通。

故而,数学作为一种语言,在其成长过程中,不论最终磨砺出了何等的精确和严谨,它都摆脱不了其非理性的血统。


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《数学:确定性的丧失》

作者:  [美] M·克莱因

译者: 李宏魁

出版社: 湖南科学技术出版社

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【推荐语】

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《天才之为责任——维特根斯坦传》

作者: 瑞·蒙克

出版社: 浙江大学出版社

副标题: 天才之为责任

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【推荐语】

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译者王宇光中英文俱佳,不辜负原著。——陈嘉映

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《什么是数学:对思想和方法的基本研究》

作者:  R·柯朗,H·罗宾著,I·斯图尔特

译者: 张饴慈译.汪宇策划.

出版社: 复旦大学出版社,2012.1

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【推荐语】

数学教学有时竟演变成空洞的解题训练,这种训练虽然可以提高形式推导的能力,

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鞭辟入里,充满睿智,是一部不可多得的科普作品。


《西方文化中的数学》

作者:  [美] M·克莱因

出版社: 复旦大学出版社

译者: 张祖贵

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【推荐语】

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该书自1953年出版后,多次再版,深受数学界认同、大众欢迎,影响经久不衰。

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《数学之美》

作者:  [美国] 吴军

出版社: 人民邮电出版社

出版年: 2012-5-1

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【推荐语】

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读了“数学之美”,才发现以前学的数学,比如各种计算、函数原来都如此亲切,

并且生动有趣,才发现自然语言和数学处理这么有趣。

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