从疑问出发拓展数学概念理解

刚学完“小数乘法”单元中的例3，大家正在安静地做练习题，却听见聂筱琦小声与旁边两个同学说：“这几个题怎么越乘积越小呀？”临下课时，我向全班学生提出了他的问题后说：“这是个很好的问题呀，大家看看后面两节的例题，思考一下，试着找一下它的答案……”

下课后我又查阅了一些资料，看到教育学者郜舒竹教授的一段话：“‘乘’作为一种运算，在数学课程中呈现意义不断演化的过程。因此，在学习小数乘法之前，先需要拓展对两个数相乘意义的理解……将‘乘’的运算看作‘放缩’的过程，也就是把乘的过程理解为放大或缩小的变化过程。”

例4后面的“做一做”，正好有关于聂筱琦这个问题的练习，完成之后我让学生思考，“为什么一个数（0除外）乘一个大于1的数，积比另一个因数大？而乘一个小于1的数，积却比另一个因数小”？学生虽然能根据计算发现规律，但对其中的道理还是不太理解。于是我写了几个简单的算式，同时配上线段图让学生观察：如果用一条线段表示4，以它为标准，4×1表示4的1倍，也就是1条标准线段，4×2表示4的2倍，也就是2条标准线段……这个时候是对4（标准线段）进行放大，如果4×1.5是对它放大1倍多一些；而半条标准线段是4的1倍的一半，一半用小数表示是0.5，那么这半条线段就可以表示为4×0.5，即4的0.5倍，这个过程是在进行缩小……

其实，在六年级学习“求一个数的几分之几用乘法计算”时，教师通常会从“倍”的角度让学生理解它。但是，当倍数模型从整数乘法拓展到小数、分数乘法时，虽然其本质一样，但由于受语言习惯的影响，学生从求一个数的几倍用乘法到求一个数的几分之几用乘法，理解和接受起来还是有一定难度的，不能自然过渡。因此，教师要对倍的现实模型进行纵向分析和研究，在小数乘小数和分数乘分数倍的模型学习中，要类比整数乘法中的倍数模型，帮助学生顺利完成数据变化的过渡。

我多年教六年级数学常常会感到，学生多是在机械地运用这个方法。在学习“小数乘法”时，对“乘”的意义进行拓展的同时，又对“倍”概念进行了延伸。有了这些教学活动做基础，到了六年级再去学习“求一个数的几分之几”，学生就能够顺利理解了，如4的一半既可以表示为4×0.5，即4的0.5倍，又可以表示为4×1/2，即4的1/2倍，顺利完成由整数乘法到小数与分数乘法、由整数倍到小数与分数倍的过渡，避免出现概念不同理解水平之间跳跃过大的问题，给学习带来困难。

类似的例子还有很多。例如，人教版六年级数学教材中“两个数的比表示两个数相除”，但“比”的理解绝不能局限于此。在后面的练习十二第4题“把63棵树分给人数分别是42人、44人、40人的班级”，就需要根据3个班的人数比21：22：20的关系进行分配，这个“比”用“除”来理解显然就不合适了。由此让学生更深入地理解，“比”更重要的是表示各个量之间的倍数关系，感悟“比”与“除”、“份数”等概念的联系与区别。这样教师就可以利用现有的教材资源拓展数学概念，让学生更好地理解数学概念。

（作者单位系河南省郑州市管城回族区紫东路小学）

《中国教师报》2026年01月07日第12版