生活中的百分数

一节好的数学课是如何打磨研究出来的？如何以课堂教学研究为载体促进教师对学科本质的理解？如何通过教学研究引导教师具有儿童立场、学生视角？2016年，东北师范大学附属小学提出构建以“有根源、有过程、有个性”为特征的率性教学，倡导在教学设计上关注知识本源，还原知识产生的原初情境。在教学过程中，学生经历从个别到一般的有归纳的学习过程。学校数学学科依托学科委员会成员赵艳辉、杨祎、降伟岩、高敏、许晓博、郁宏、周丽娜等教师展开多轮团队研究，从知识本质的探究、学情分析、情境创设、重难点突破、研究主题的呈现等方面展开了深入探索。接下来呈现的《百分数》一课，以及本节课设计的思考，充分展现了学校数学学科教学改革与研究的真实样态。

◎课前谈话

师：课前，老师要做个小调查，你们平时在家都用手机做什么呢？

生1：打电话。

生2：玩游戏。

师：我们办公室流行的是什么？是一个记账软件，我把这个软件下载到pad上给你们看看。找找看哪个是？有一个大大的人民币标志“随手记”（给学生展示软件），看明白了吗？这是记录收支情况的软件。

设计情境，引导学生提出问题

师：今天，老师给大家带来了通过3位老师用记账软件整理出来的各个家庭6月份的支出情况（见下表）。

师：我们仔细看一看这3组数据，你能不能比一比，谁家的生活水平更高一点呢？你想怎么比？

生1：周老师家的生活水平更高，因为她家的总支出是最高的。

生2：应该先看总收入多少，再看总支出。

生3：杨老师家生活水平高一点，因为她每项都比较高。

师：同学们的想法都很好，在食品、居家、服饰这么多选项里，哪一项是解决生存第一需求的？

生4：食品。

师：是的，下面我们就结合食品支出和总支出这两个数据去看看，想一想，应该比较些什么？

生5：我觉得应该求食品支出和总支出的比。要是家里人多，食品支出也高，那就看食品支出占总支出的多少来说明生活水平高不高。

师：食品支出占总支出的几分之几？这个问题，大家同意他的想法吗？

（生同意并点头）

师：那我们就来研究一下这个问题。

小组学习，解决问题

师：接下来，我们通过小组学习的方式共同解决一下这个问题，谁愿意读一下学习指南？（出示学习指南）

学生以小组的方式开展学习，时间为10分钟，学习完成后进入小组汇报。

生（小组汇报）：我们是先算了杨老师家食品支出占总支出的8/27，降老师家食品支出占总支出的3/10，周老师家食品支出占总支出的2/5。然后通分成公分母是270，杨老师家是80/270，降老师家是81/270，周老师家是108/270。

师：他们小组用的是什么办法？为什么用这种方法？

生：用的通分方法，通分后他们是同一单位，看起来比较方便。

师：那我们就只比较分子80、81、108，就可以比较出这3个分数的大小。现在我们比较出3家的食品支出占总支出的高低情况。

深入探究，体会百分数的必要性

师：不过统计学家不仅想知道这3家的情况，还想知道更多家庭的生活水平。下面，老师提供给你们更多的数据，你们打算怎么办？

生（讨论）：不行，太麻烦；分母太大，公分母不好求。

师：你们知道吗？数学家也曾遇到过与你们一样的困难，不过最后他们想到了一个好办法，规定一个数作为分母，谁呢？就是人们特别喜欢用的10、100、1000这样的数，我们就先用100来试一试。老师帮你们把他们变成分母是100的分数了，像这样分母是100的分数，数学家们专门设计了一个新的符号——%，用它来代替100这个分母，分子不变，直接写在百分号前面，像这样的数有一个共同的名字——百分数。那谁能结合杨老师家的数据，说说29.6%表示什么意思？

生1：百分号就表示分母是100，29.6就表示它的分子。

生2：比如把家里的钱平均分成100份，食品就占其中29.6份。

师：比较这些百分数，你认为谁家的生活水平更高呢？

（学生争执不下）

师：同学们，你们知道吗？19世纪德国有个统计学家恩格尔，用刚才我们求出的家庭食品支出是总支出的百分之几来判断一个家庭的生活水平，他是怎样判断的呢？我们看一段小视频（插播恩格尔系数介绍视频）。

师：看明白视频了吗？其实我们也是按照恩格尔系数的思路算的，那看看杨老师家的数据，就是最富裕的吗？还真不是，我搜集的只是一个月的数据，其实恩格尔系数是一种长期趋势，需要积累大量的数据，不能用几个月或一年的数据来获得。

独立学习，探索百分数的意义

师：百分数在生活中的应用非常广泛，老师为大家搜集了几个生活中的百分数，你们研究一下这些百分数都表示什么意义。接下来，我们进行个人独立学习。（教师设计4种不同的学习卡片，出示学习指南）

（学生自选卡片独立学习5分钟，结束后教师组织学生汇报）

生1：（选择学习卡1）把全球的手机销量分成100份，其中三星手机的销量占26份，也就是26%。

生2：（选择学习卡2）2017年第二季度，四大国产手机品牌（华为、oppo、vivo、小米）的销售额占据了我国近69%的市场份额。国产手机的销售额占市场份额的69/100。我把10厘米的线段分成100份，然后1毫米是其中的1%，那69毫米就表示69%。

师：她把线段平均分了，为什么要分呢？她刚才把线段平均分成了100份，一小份就是其中的1/100，她想画69/100，所以画了69份。她拿到线段图做了什么事？量、分，分成了多少份？

生（齐声）：10份。

师：看到的是10份，她刚才说其实想分成100份，可是找到了一个巧妙的办法，把10份每份看作1厘米画的。那我们就看出国产四大品牌销量这个数和全国销量这个数之间的关系。

生3（选择学习卡3）：今年第二季度小米手机销量是去年同期的148%，也就是说今年小米手机销量占去年的148%。我先把去年的平均分成100份，今年的再多出48份。

师：你怎么判断这个长度的呢？

生3：去年相当于100%，那今年是148%，就比去年多48份。

师：如果去年是100，那今年就是148；去年是1000，今年就是1480。去年销量和今年销量这两个量之间总有100和148的份数关系。

生4：华为P10手机采用超级快充技术，从电量“零”充电到100%仅耗时1小时26分。这里100%的意思就是100/100，也就是1，表示满电的意思。画图时，我把这个饼平均分成100份，由于时间原因，我把他平均分成4份，每份是25%，4份就是100%。

师：这是100份里的100份，画图时他想平均分成100份，再涂满这样的100份，那这100%表示的就是已充电量占总电量的100%。

集体学习，归纳百分数意义

师：我们研究了这么多百分数，现在谁能用自己的话说一说，什么是百分数？它表示什么意思？

生1：百分数就是占100的几分之几的分数，意思就是把整体1平均分成100份，取其中几份。

生2：就是分母是100 的分数。

生3：百分数能更简单地表示两个量之间的关系。

师：当我想表示两个量之间的关系时，我可以选择百分数来表示一个数是另一个数的百分之几。

生4：第三个，超过100%，其他的都小于100%。

生5：我觉得把100%看作一类，小于100%的看作一类，大于100%的看作一类。

师：我们一起来看看图，这样的百分数表示了部分和整体的关系，而像这种呢？百分数还可以表示去年和今年两个不同量之间的关系。

（应用练习略）

◎教学设计背后的思考

情境设计：本节课，问题情境的设计从“统计学”的角度切入，用“大情境+问题串”的形式，呈现出真实性、典型性、新颖性、开放性、复杂性等特点。

问题情境的设计让学生经历了“从头到尾”思考问题的过程，包含了丰富的信息，可供学生从多方面、多角度进行思考，也能引发学生的认知冲突。授课教师呈现出3位教师家庭支出情况统计表，选项多、数据多，在比较哪位老师家生活水平高时，学生会提出多种可能结果，问题设计开放性强，有一定的挑战性。

教师设计的问题情境来自于自己的现实生活，从提出“比一比谁家的生活水平更高”这一生活问题入手，学生在学习活动中，用“分数表示出几分之几，再比较三个分数的大小”这一数学问题，再进一步体会产生百分数的必要性，构建百分数的概念，从而更好地解释生活中的现实问题，让学生经历了“数学化”的过程。

重难点分析：本节课的教学重点是理解百分数的意义，难点是让学生经历百分数形成的过程以及体会产生百分数的必要性。

在难点的突破上，学生经历了从数量关系开始建构百分数的学习过程。学生在比较3位教师的生活水平时，经历了猜测、选择、尝试、比较一系列过程。最初只通过总支出这一个数据比较，然后选择食品支出和总支出两个数据；选择两个数据后，又要建立这两个数据间的关系进行比较，其实就是在从头开始建构百分数。百分数的建构源于除法，当学生找到食品支出和总支出的除法关系时，也就找到了它们之间的份数关系。随着数量关系的建立，学生关于百分数的建构也就开始了。

当学生一致同意运用通分的方法比较3位教师的生活水平时，授课教师又适时抛出问题，让学生经历思考的“困境”——要比较更多家庭的数据怎么办？让百分数的出现水到渠成，这个过程足足花费了近40分钟，但是我们认为这是值得的，因为这是学生建模的过程。

如何帮助学生更好地理解百分数的意义？课堂上，教师鼓励学生用写一写、画一画的方式，多角度刻画百分数的意义。我们在备课过程中，对百分数的意义进行了更深层次的挖掘。比如对于100%这个数据，用图形描述它的时候，有的学生就涂出一个圆，就大小而言没有问题，但是我们认为，这样画没有突出百分数的意义，而画图的目的就在于直观地表示百分数的意义，体现在哪里？就体现在100份上。这100份，有的是教师提供的，有的是学生自己找到的，无论怎样获取，都能帮助学生更好地理解百分数的意义。另外，本节课采用小组学习的形式，增强任务感，让学生深度参与到学习中来，大家围绕一个主题在小组内讨论、交流。一部分学生在最初阶段往往不能准确描述百分数的意义，这是正常现象，也正是学生思维发展的起点。学生在交流和讨论的过程中“互相听”“互相学”就会极大提高学习效果，实现基于差异的共享式学习。最后，经过汇报、提升、总结、归纳，明确百分数不仅能描述部分和整体之间的关系，还能描述两个量之间的关系，教学重点得以落实。

（作者单位系东北师范大学附属小学）

《中国教师报》2018年08月22日第5版