师：在历史上，数量和数量之间的关系，我们人类最初是用文字表达的（课件出示：每个重量×4，每个价钱×4，每班人数×4，其中“重”、“价”、“人”用红色标出）。用文字来表达，显然比较繁琐。因而，古希腊数学家丢番图想到了用“缩写”的方法来表示，仿照丢番图的方法，这里的“每个重量×4”，取“重”发音的第一个字母，表示成“z×4”。那么“每个价钱×4”和“每班人数×4”怎样用缩写的方法表示？

　　生：j×4和r×4。

　　师：丢番图用字母的缩写来表示数量间的关系，虽然简洁了，但每个字母都表示特定的意思，不能把z×4和j×4等同，所以，并没有给数学家研究数学带来更多简便。到16世纪，法国数学家韦达想，如果把各种情境中字母表示的特定意思都去掉的话，不都是一个数和4相乘吗？（课件中“z×4”、“j×4”、“r×4”依次变为“□×4”）所以，韦达就表示成了a×4，这里的a还是特定的意思吗？

　　生：（异口同声）不是！

　　师：对，字母“a”已经不表示任何具体的意义，和这里的小方块一样，只是一个符号而已（在“缩写”后面板书：→符号）。自从韦达把字母当作符号来表示数之后，许多数学难题得到了解决，数学获得了飞速发展，韦达被称为现代代数学之父。

　　故事的最后，老师想请大家猜一猜，从丢番图用缩写的方法表示数到韦达把字母当作符号来表示数，用了多少年？

　　生1：100年。

　　生2：很多年。

　　师：对，是很多年，整整1200年！

　　（学生情不自禁地惊呼：哇——）

　　师：孩子们，一方面我们应该为历史上无数数学家百折不挠、呕心沥血献身数学的精神而感动，另一方面也为我们自己用了40分钟就跨过了人类认识提升的1200年历史，表现出的巨大的学习潜能而——

　　生：骄傲！

　　师：当然，通过今天的学习，有些同学对“用字母表示数”可能还有些模糊，那也不要紧。你想想，在历史上数学家们都用了1200年，你才学了一节课，你急什么呢？！相信自己，通过后面的学习，我们一定能融会贯通的。

　　……

　　同一个教学内容，可以有多种教学设计。每一种新设计都在探求教学的更好方式。但数学教学的首要问题，不在于教学的更好方式是什么，而在于所教内容的数学本质是什么。

　　“用字母表示数”的教学重构，就是在所教内容数学本质的考量中展开的。在与教科书配套的《教师教学用书》中，往往把用字母表示数表述为“是人类认识由具体到抽象的一次飞跃”，除此之外，并没有进一步的解释。战略性的数学概念，是人类千百年思维抽象的结晶，仅仅看它最终形式化的表述或数学价值的表述，很难深入把握其确切的本质意义。而抽象的结果一旦和抽象活动的整个过程结合起来，它便变得生动和形象起来，其抽象意义就不再不可捉摸。换言之，数学史能凸显数学知识的本真意义，这正如著名数学家和数学教育家波利亚所指出的那样，“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断”。

　　数学的发展史告诉我们，字母表示数的过程，不是简单的用字母代替文字的过程，而是具体数量符号化的过程。孩子们的认知发展可能各具特点，但总体上不可能违背人类认识提升的一般规律。因而结合人类认识提升的历史阶段看，孩子认识用字母表示数存在这样的递进关系：字母不仅可以表示未知数，还可以表示已知数；字母不仅可以表示特定的意义，还可以表示变化的数量；不仅可以在缩写水平上运用字母，还可以在符号水平上运用字母。再深入地看，学生只有理解这个已知的数量在不断的变化中，才能理解字母的符号概括作用。以这样的认识来审视以往“用字母表示数”的教学，可以说学生的认识鲜有真正的理解。因为，没有这三点认识的递进做“抓手”，即使再三强调“用字母表示数”是由具体到抽象的飞跃，学生还是不可能在心理上表征“用字母表示数”的真正意义。再者，以往的教学往往重视学生在缩写水平上运用字母的种种经验，但又将符号概括水平上的运用和音节缩写水平上的运用混为一谈。而“用字母表示数”的新意义要进入学生已有的认知结构，字母运用的原有经验是必经的节点。学生的认识要实现飞跃，就必须对“用字母表示数”的新意义和旧经验之间的区别有清楚的认识。鉴于此，教学的整体思路何去何从，似乎不难选择，在课堂上再现人类认识提升的1200多年历史也就顺理成章了。

　　考察数学史，并不能当然地给数学教育带来创新的启示。数学史和数学教育有着不同的研究领域，不同的研究价值取向。数学史怎能自如地进入课堂呢？中国科学院李文林先生提出：“数学史除了为历史、为数学而历史之外，还应该为教育而历史。”数学史与数学教育的貌合神离，恐怕主要是因为我们的教师还没有确立“为教育而历史”的意识，而更多地只是关注自己的课堂是否穿上了时尚的“数学文化”的外衣！

　　上述分析，也鲜明地阐释了数学史为教育而历史是个再创造的过程。这种创造，根本之处在于考察视角的转变。如果停留于历史的考察，我们只能看到数学发展的史实：是谁在什么时候提出了什么数学知识。对于孩子们的数学学习来说，知道这些事实性的知识是有益的，但对于孩子们的数学理解来说，作用显然极其有限。而如果深入到学生数学学习的内部，保持着敏锐的“怎样促进儿童数学学习”的触角，我们就可以通过研读数学史，捕捉到其间隐藏着的丰富的教育基因。例如：通过数学发展史可以提炼出孩子们的认知发展规律，通过数学家的困难可以预见和解释学生的学习困难，历史发展的顺序可以作为安排学习顺序的参考，历史背景知识可以用来激发学生的兴趣，历史上的弯路和挫折可以用来减少学生的学习焦虑，如此等等。

　　数学史就其本质而言是人类数学思想的发展史，而数学教育的最高境界是数学思想的感悟和熏陶，从这个意义上看，数学教育无疑能从数学史中汲取更丰富的养分，数学史也完全能够促使数学教育变得更厚重和深刻。中国老一辈数学家余介石在其著作《数之意义》中主张，“历史之于教学，不仅在名师大家之遗言轶事，足生后学高山仰止之思，收闻风兴起之效，更可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑程序，如何得以融和调剂，不至相背，反可相成，诚为教师最宜留意体会之一事也。”

　　在更为一般的意义上，数学知识的背景史料、相关的生活常识，形、体的视觉美等东西，都可以作为数学文化的构成因素而进入课堂，但数学文化的核心是在数学产生、发展的历史进程中，逐步沉淀下来的数学思考、数学观念、数学品质等。因此，必须回到数学本质的层面上来彰显其文化性，努力去把握和呈现数学知识的知性本质、数学思维的冷峻深刻、数学品质的求真至善。唯如此，数学教育才能走向更深入和厚实。

　　（原载《人民教育》2008年第6期）