善于举例

　　“数学教师的基本功”之一

　　编者按 一个数学教师，除了应具备一般教师的教育素质，具备一定的数学素养，还应该具备哪些能力呢？

　　南京大学哲学系教授郑毓信对此产生了诸多思考。他认为，数学教师的“数学教育”能力，既不应等同于“教育”，也不应等同于“数学”，或者两者的简单组合，而是一种特殊的能力。为此，他提出了数学教师的三个基本功：善于举例、善于提问、恰当处理多元化与优化的关系。本刊从这期起连载此三篇文章，以飨读者。

善于举例

　　● 郑毓信

　　抽象性常常被说成数学最为基本的一个特性。帮助学生较好地理解与掌握抽象的数学概念与数学理论，这是数学教学的一项基本任务。实现这个目标的一个基本手段就是恰当地举例——会举例，善于举例。这应当被看成数学教师的一个基本功。

　　应当指明，就高度抽象的数学概念而言，举例并非一件易事。以下就是笔者在南京大学执教时的一个亲身体验：

　　由于函数是数学中最为重要的基本概念之一，因此，作为大学微积分学课程的开端，笔者首先对学生关于函数概念的掌握情况进行了解。结果发现：尽管当时的教学对象是文科学生，但大部分人都能正确地表述出函数概念的“三个要素”，即自变量、因变量和对应关系。进而，笔者又要求学生联系实际生活举出函数的若干实例，这一任务对学生来说应当不会有任何困难，因为在中学的全部学习过程中，他们已经接触到了各种各样的函数，教材中也已给出了这些函数的若干实例。另外，在物理和化学等课程的教学过程中学生也常常会遇到各种各样的函数，如弹簧的长度与拉力的关系、炮弹的射程与发射角的关系，等等。

　　然而，出乎意料的是，学生却普遍表现出了一定的困难。当时有一个学生举出了这样的例子：“一个人的年龄与他所消耗的食品以及与他所消耗的衣物之间的关系。”

　　“这能否被看成函数的实例？”笔者组织学生对此进行了简短讨论。以下的“修正”很快为全班一致接受了：我们在此应当首先实行必要的量化，因为，在目前的水平上，函数所涉及的只是数量之间的关系。然而，当教师提出以下问题后，大部分同学却陷入了思想混乱：“但是，一个人所消耗的食品或衣物与他的年龄之间并不存在必然的联系。这就是说，当他20岁时，他所消耗的食品可能是X吨，也完全可能是（X+1）吨或（X-1）吨。这种‘不确定性’是否与函数定义中所说的‘确定的对应关系’相矛盾？”

　　由于笔者没有立即提供相应的解答，而是让学生自己去思考，因此，在这一堂课后就有不少同学反映：“对于函数概念我们原来是懂的，现在反而不懂了！”

　　当然，这些学生所说的“原来是懂的”，其实并不是真懂；另外，就我们目前的论题而言，这也就十分清楚地表明：举例特别是举出适当的例子实非一件易事。

　　对于上述的例子，相信一些教师会认为：您这是就较为高深的数学概念而言的，如果是初等数学就不存在这样的问题。例如，通过1个苹果、两只桔子等实例我们就可顺利地帮助学生掌握1、2、3等概念及其运算；再例如，只需借助木制的三角尺与黑板上所画出的各种三角形等，我们就可帮助学生顺利地建立起三角形的概念……

　　上面的看法应当说有一定道理，但是，作为问题的另一方面，我们又应强调指出：尽管数学教学中时时都在用到各种各样的例子，但例子又有“好”与“坏”，或者说“恰当”与“不恰当”的区分。作出这种区分的一个重要标志是：这些例子是否真正有利于学生很好地去掌握相应的抽象概念。“会举例、善于举例”的一个具体内涵，就是应当有利于学生较好地实现由具体实例向抽象数学概念的重要过渡。

　　显然，从这样的角度去分析，我们也就可以立即看出以下论述的不足之处：“数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种‘解读’。”因为，如果采用皮亚杰的术语，数学学习并非仅仅是一种“同化”（用建构主义的话来说，就是“意义赋予”），而且也是一个“顺应”的过程，即如何能够超出生活经验并学会数学地思维，特别是数学抽象。

　　下面这个四年级的教学实例① 能给予我们直接的启示。

　　任课教师要求学生求解这样一个问题：“52型拖拉机，一天耕地150公亩，问12天耕地多少公亩？”一位学生是这样解题的：52×150×12=（略）。接下来就出现了这样的师生对话：

　　“告诉我，你为什么这么列式？”

　　“老师，我错了。”

　　“好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？”

　　“除。”

　　“怎么除？”

　　“大的除以小的。”

　　“为什么是除呢？”

　　“老师，我又错了。”

　　“你说，对的该是怎样呢？”

　　“应该把它们加起来。”