随后我停顿了大概有10秒钟——我有这样的决心和耐心等待。这时学生中有一点点议论的声音。

　　学生3站起来了。他是为数很少的喜欢主动发言的学生。“应该有180°与360°之间的角。”

　　“你是怎么想到这个问题的？”

　　他有点答非所问：“但是也不能确定，如果有超过180°的角的话，比如超过一点点的，还应该算是钝角。”

　　他走到黑板前画出了一个角，并用手比划，说角还是β。

　　两秒钟后，又有学生要发言。

　　“我觉得在180°与360°之间肯定有角，否则会留下一个空档。”

　　“这个角应该画在上面，就大于180°。”

　　我照他的意思顺手将角θ标示出来。

　　“有不同意见吗？到底应该算上面的那个角，还是下面的那个角？”看到学生有争执，我更愿意“煽风点火”。

　　“运动员在跳水比赛时还有转体720°的呢。”学生4是匹“黑马”，平时可难得主动发言。他这一说，有不少人在下面笑，也有人在沉思。我又等了大概10秒钟。

　　“看来我们必须重新审视一下角的概念了，初中阶段对角的定义是——”

　　学生齐答：“从一点出发的两条射线所形成的图形。”

　　“看来初中阶段的这个定义已不能适应形势了，必须对角进行新的定义。我们可以怎样定义？”

　　又是沉默，我不清楚他们在思考什么，但肯定没闲着。看来这个问题对他们确有一定的难度。

　　“把角定义为从一点出发的两条射线，好像过于静止了点。‘角’以一种突然的方式出现在我们面前，实在让我们很难搞清它的来历。换个角度，让它——”

　　讲上面这段话的时候，我尽量放慢了语速。事实上，前几年上这一课时，由于没有收课本，学生都知道这个角怎么定义。

　　沉默啊沉默，看到学生难以顿悟，我在这片刻的寂静中拿起了放在讲台下面的一个木制的圆规，并随手扬了扬。终于，稀稀拉拉地，有几个学生举手了。

　　“把‘角’看作是转动形成的。”学生5答道。

　　“说得具体点。”

　　“从一条射线出发，把它拉着转动，不要一下子画两条射线。”

　　“你到黑板上来示意一下。”

　　学生5一向大大咧咧，他走到黑板前抓住鸡毛掸子当起了射线，边比划边讲给我听。

　　“我们看到，同学5的意思是，射线绕着它的端点转动，转动前是一条射线，转动结束时这条射线到了这儿。”我沿着鸡毛掸的终止位置画了条射线，然后将鸡毛掸拿开，“请同学6结合我刚才转动的过程对‘角’进行新的定义。”

　　“一条射线绕着它的端点进行旋转，从开始的位置转到结束位置，这样形成的图形叫角。”学生6站起来了。

　　我把学生6的发言配合手势重复了一遍，很快有学生提出意见。

　　“必须加上‘在一个平面内’才行。”

　　不少学生轻轻点头。我把这个定义写在了黑板上，自己也稍稍松了口气。

　　“这个定义确实能解决刚才的遗憾和争执吗？”

　　“能。”学生齐答。

　　“看来通过这个定义，我们可以把180°与360°之间的角的空档补上了，那你们说，我怎样才能知道黑板上的这个角到底是β还是θ？”

　　“在开始的位置写上‘始’，在结束的位置写上‘终’。”学生7答道。

　　“那要是转了几圈才结束的，怎么区别？这个办法不行。”有人反驳。

　　下面的学生直点头。

　　“好办，在角β、θ那里加画一个箭头，表示从哪里开始到哪里结束。”学生7似有所悟，在黑板上画了两个箭头。

　　学生纷纷点头表示认可。

　　“好是好，这样的表示方法确实很简洁地解决了以上问题。但在电视上看跳水比赛，我们常听解说员说：前滚翻720°、后滚翻720°；看单杠比赛，我们常看到运动员手抓单杠，有时是顺时针旋转5圈，有时是逆时针旋转5圈，但不知我们数学上如何表示这一前一后、一顺一逆？”我继续提出问题。

　　“老师的意思是角也要分两类，一类是顺时针方向旋转形成的，一类是逆时针方向旋转形成的。”

　　又停顿了10秒钟。

　　“可以用+、-来区别。”

　　“零上5°C用+5°C表示，零下5°C用-5°C表示。国际法规定：按顺时针方向旋转所形成的角为负角，按逆时针方向旋转所形成的角为正角。”（板书）该讲的时候还是要讲的。

　　我接着请学生画出+30°角、+210°角、+750°角、-45°角、-300°角。到他们中间巡视了一遍，情况还不错。

　　“经过了重新定义，现在我们有了正角，有了负角，还有遗憾吗？”

　　“零度的角。”声音很齐。

　　“我们定义零度的角叫零角。”（板书）我总结道。这时下课的铃声响起，我迅速在本节课的标题“角”前用彩色粉笔加上“任意”两个字，又在黑板上画了个角：

　　“知道这个角的度数吗？”我问。

　　“现在不知道了，很多。”

　　“课后请思考：既然这个角的度数很多，请你用集合表示出来，而且要用列举法和描述法。下课。”

　　我曾仿照一位法国教育心理学专家给学生出了一道题目：“一艘船上有49头牛，10只羊，那么船长是几岁”？课堂上首先是沉默。我只能叫学生来回答，有答59岁的，有答39岁的，在我坚定地摇头否决后，有学生断言是70岁，方法是将49开方再乘以10。我明显看出许多学生长出了一口气，估计他们是认为，这终于是一个正确的答案了，他们怎么没想到这样做。没有一个学生对此提出质疑。

　　我还曾经随机地在校园内与高三的学生聊天，我问他们：如果角θ的正弦值等于0.5，那么角θ是几度？5个人首先都答的是30°，在我一再追问下才能回答正确。

　　由此我以为，如果教师不带着学生去共同领悟知识的发生、形成过程，学生就感受不到数学学习的乐趣，所学的知识必然是不牢靠的，经不起风吹雨打，思维能力的提高更是难以到位。

　　讲到必修4的§1.1.1“任意角”，我感到进行课堂实验的机会来了，因为初中时学生已接触过一些有关“角”的概念，对角有了初步的认识，然而生活中遇到了一些具体情况，仅使用初中的知识已不能解决，这就要求我们将角进行推广。在原有的基础上生成新的关于角的概念的过程中，不可避免会产生遗憾和争执，这样就容易产生思维的碰撞，从而形成智慧的结晶，这种收获让学生刻骨铭心、终身难忘。