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关于小学“数学本质”的对话
2010-03-25  2010年03月25日  来源:人民教育

  ●对话者:张奠宙(华东师范大学教授)

  唐彩斌(浙江杭州现代小学数学教育研究中心主任)

  唐:常说“教什么比怎样教更重要”。今天我们讨论的话题是小学数学教学中常见的一些“数学问题”。不过许多人认为,小学数学谁都懂,您怎么看?

  张:小学数学的内容并不简单。现在有关的教材、论文中就有不少数学上的瑕疵。作为小学数学教师,首先要居高临下,知道小学数学在整个教育当中的地位和作用;此外,小学数学也要“与时俱进”,体现时代特色。最重要的是,教师要展示数学的本质,提高学生的数学素养。今天,我们就来谈一些具体问题。

  0为什么是自然数

  唐:小学数学中最大的学习领域是数与代数。关于自然数,大家议论最多的是,“0本来不作为自然数,现在怎么又说是自然数了”,究竟为什么?

  张:在上世纪90年代以前,自然数不包括0,但是1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》(GB3102.11)里规定:自然数包含0。

  唐:新课程小学数学教材,已经根据这一标准进行了修改。具体的表述是:用0表示“一个物体也没有”所对应的数。在教学中,有些老师觉得把0作为自然数,不大好接受。

  张:这只是习惯问题。0是自然数有许多理由。首先,人的经验是,从无到有。我们常说:“从零开始”、“零距离接触”,就表明0是最小的自然数。再比方说,魔术师总是先交代两手空空,再变出一只兔子,然后是两只兔子……铅笔盒中本来是空的,然后装进一支铅笔、两支铅笔,等等。老子的《道德经》里说:“道生一,一生二,二生三,三生万物。”可见,一是由道——一种虚无的存在而产生的。第二,更重要的是书写的需要,10的位置记数写法是10。没有0,就写不出10,20,30,100。所以0,1,2……9这10个数字是最基本的。第三,0的出现可以保证自然数集有单位元a+0=0+a=a。在自然数中5-5=0,如果0不是自然数,那么5-5岂不是不能减了?

  唐:对啊。说到习惯,从某种意义上说是老师的习惯。对学生而言,由于尚未形成习惯,也未必就不好接受。

  感受100万粒米有多大有没有必要

  唐:近几年来,我们经常看到这样的教学片段:通过让学生认识“100万粒米的体积”,来认识100万有多大?您怎么看这样的教学?

  张:当初设计这样的教案,初衷是好的,就是要大家体验一下100万是怎么来的。不过,数学教学要关注的是100万这个数的结构。至于说100万粒米有多大,知不知道无所谓。难道我们还要体验100万颗花生、100万个篮球有多大?有的文章问:100万张100元的人民币要多大的箱子装?这不是普通百姓需要的知识。关于100万的教学,主要精力要放在100万的结构,即如何形成100万上面。例如,我们可以设计这样的活动:从一个单位立方体出发,10个构成一排,10排构成一个正方形,10个正方形叠起来构成一个立方体,即1000。再以这个立方体作为新单位,10个一排构成万,10排形成新的正方形构成10万,最后,10个新正方形构成新的立方体,就是100万。这个过程是每个人都要弄明白的。

  分数究竟该如何定义

  唐:很多教材都是这样定义分数的:单位1平均分为若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。这样的描述听起来比较自然,也符合“几分之几”的称呼,因而是引入分数的首选。

  张:对,用份数的定义来引入分数是非常自然的。但这样说还没有体现引进分数的本质:分数是一个不同于自然数的新数。份数定义还停留在“几份”的思考上,还没有越出自然数的范围。1份,3份,是分数还是自然数?因此必须尽快过渡到分数的“商”定义:即分数是正整数a除以正整数b的商,记为a/b。用a除以b,当除得尽时(整除),答案仍是“老朋友”——自然数。关键在于除不尽的情况,这时得到的商就是我们要结识的新朋友——分数。这个概念我们现在注意得不够,而这恰恰是我们学习分数的本质所在。

  唐:您能举例说明一下吗?

  张:比如1/4,它是一个整体平均分为4份中的一份。但是,这一份究竟有多大呢?1除以4的商是多大呢?它一定比1小,却又比0大。我们可以在数射线上标出它的位置:它在0和1之间,中间这一点是一半,就是1/2;在1/2和0之间再分一半,那个位置就应是1/4。这样一画,分数是“我们的新朋友”的特性就显示出来了。原来的自然数离散地分布在数射线上,现在的分数密密麻麻地填在射线上。商的分数的定义比份数的定义要深入一步,体现了引进分数的必要性。目前的教材只是说“分数和除法之间的关系”,未免不得要领。 (图略)

  唐:确实,以前我们描述分数与除法的关系时只是一般地描述为:分数中的分子相当于除法中的被除数,分母相当于除法中的除数。但到底是怎样的一种关系,尚不明晰。分数的商的定义,强调分数是一个新的数,这太重要了。张老师,您以前还提到了分数的另外一种定义,那是一种怎样的定义?

  张:分数的第三个定义是比的定义:两个自然数a和b,b≠0,把比值a/b叫做分数。比和除,本来是一个问题的两个方面,我的意思是说,用比的概念之后,分数就可以扩大它的应用范围,使我们的视野更广阔。我记得我曾经请你做过一个调查。

  唐:是的。当时我们组织了100多名学生,分别来自三、四、六年级。给他们看屏幕上的一个圆,这个圆被分成4份,其中的一份被涂成蓝色。然后问学生,你看到了哪些分数呢?让他们想两分钟,尽量写答案。结果如下表。(图略)

  张老师,你怎么看这个数据?

  张:我想,比的定义和我们原来份数的定义是相关的。份数的定义是说,分数表示的是一个整体平均分之后,其中的几份。从这个小调查看出,以整个圆作为“整体单位”的思维定式还是太强了。不仅仅是一个圆可以作为整体,1个半圆或3/4个圆也可以是整体。灵活地选择整体是理解分数的重要一步。我作为一个大学数学教师,看到的是1个圆里面有1块蓝、3块白,它们的比是1∶3,首先想到的分数是1/3。所以,不能把一个整圆四等分作为一种定式,以至于看不到1块蓝与3块白之间的比。我想,比的定义也许和份数之间的灵活转换有一定的关系,我也希望老师们能把份数和比的定义联系起来思考。

  什么是代数

  唐:《数学课程标准(实验稿)》设置了“数与代数”的学习领域。过去,在小学里,对于数的认识我们比较熟悉。至于代数,相对来说比较陌生一些。怎么理解代数?

  张:代数学的英文名称是algebra,是9世纪阿拉伯数学家花拉子米一部著作的名称。原意是“还原与对消的科学”。什么叫做对消?大家知道的有正负对消,就是解方程时所谓的移项。所谓还原,就是把本来淹没在方程中的未知数x暴露出来,还原了x的本来面目。所以方程是和代数紧密联系在一起的。

  唐:一般在学习方程之前,我们都要先学习“用字母表示数”。方程理论就是“用字母代表数”吗?它们之间到底是一种怎样的关系。 

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