张：单单用字母代表数，还不是代数。例如，加法交换律写为：a+b=b+a，虽然也用字母代表数，却和代数的思想方法没有关系。用字母代表数，即设某量为x的做法，只是运用代数方法的第一步。代数的思想方法，其核心是基于含有x的“式”的运算来求得未知数，最后解决数学问题。从数的运算到“式”的运算，实行对消和还原，是算术与代数的根本区别。

　　唐：小学数学的“代数”内容就是能够部分地解出一元一次方程；ax+b=c。至于ax+b=cx＋d这样的方程小学里解起来还是有些困难。

　　张：难在含x的项的合并，即关于“式”的运算。小学里解方程，用字母代表数之后，主要使用逆向思维进行对消和还原。例如2x-1=5，用逆向思维也可以还原出x=3。中学里则要引入负数、进行“式”的运算，用同解概念进行对消和还原，按照程式化的规则，一步步机械地做下去就能得到解。那就是代数思维。这就是说，算术中的逆向思维也有还原和对消的思想，需要学习，但是思维过程是一题一解，没有固定的程式，不能程式化。所以，小学学习逆向思维不要搞得太难。太多了，反而会干扰未来方程的学习。

　　唐：关于方程概念的争论也很多。如：x=1，是不是方程？

　　张：毛病出在“含有未知数的等式叫方程”。大家都把它当作方程的定义，所以会出现x=1，0×x＝0，x－x＝0是不是方程这样的怪问题。其实，这句话只谈了方程的表面，实在不重要。方程的本质是为了求未知数，在已知数和未知数之间建立一种等式关系。既然方程的本意就是要求未知数，如果ｘ=1，未知数已经求出来了，也就没有方程的问题了。这类问题与我们学习方程知识没有关系，应当淡化。正如西南师范大学的老校长陈重穆先生所说，需要“淡化形式，注重实质”。

　　唐：陈重穆先生是代数学家，首批代数学博士导师。他提出“淡化形式，注重实质”，值得深思。

　　解决问题与应用题是什么关系

　　唐：在数学新课程中，以前特别熟悉的应用题不见了，取而代之的是解决问题。请张老师从数学的角度谈谈这两者之间的关系。

　　张：数学问题可以有多种分类方法。例如，可以分为常规的练习题和非常规的探究性问题。通常所说的“解决问题”，则比较关注非常规问题。另外，还可以分为纯数学问题和应用数学问题。像歌德巴赫猜想这样的纯数学问题，来源于数学内部；至于“神舟7号”飞行轨道的计算问题，则属于应用问题，来源于现实生活中各行各业所涉及的数量关系。

　　小学数学里的应用问题是客观存在的，似乎不必回避。应用题可以改进，却不能取消。我们反对的是过去小学数学中那些矫揉造作、远离现实、缺乏教育价值的应用题。新的应用题，强调数学模型的建立，问题的条件可以冗余，数据需要取舍，模型需要建立，结果需要验证，值得提倡。

　　唐：张老师，你常常提起20世纪最伟大的数学教育家弗赖登塔尔举过的一个例子：“昨夜外星人访问我校，留下了一个巨大的手印（图），今夜他还要来，试问：我们给他坐的椅子应该有多高？他用的新铅笔应该要多长？”这个问题是应用题吗？

　　张：我认为这是好的应用题。首先，这是一个学生喜欢的题材，虽然不是实际发生的问题，却是可以领会理解的情境。正如鸡兔同笼问题一样，是一种好的数学模型。其次，它蕴含了丰富的数学思想，非常深刻地体现了比例的思想。学生通过测量巨人的手和自己的手的大小比值，然后按比例放大，将比值用于设计椅子高度和铅笔长度。这是比、比例、相似等数学本质的体现。再如，日本有一堂公开课，内容是要求学生在一块矩形场地上设计花坛，使得花坛的面积为场地的一半。这是数学和艺术相结合的应用题。类似这样的问题就和过去的应用题有很大的区别，是我们需要关注的。

　　小学几何内容为什么要增加

　　唐：新课程在空间与图形领域增加了一些新的内容，从您的角度看，为什么要增加？

　　张：几何学的内容很丰富。首先是直观几何，就是对平面图形、立体图形的认识；其次是一些求面积、体积的问题，属于度量几何。在实施新课程以前，小学数学主要包括这两部分内容。后来我们发现，大学数学的许多问题，它的原始思想是非常简单、非常朴实又非常重要的。于是就增加了以下三个方面的内容。

　　第一是演绎几何，比如说垂直、平行、线段、射线这些名词都属于演绎几何的范畴。第二是运动几何，如平移、旋转和对称，是小学生需要和可以接受的内容。第三是坐标几何。总体来看，现在小学数学里的几何学，包括直观几何、度量几何、演绎几何、运动几何、坐标几何这五大块。从过去的两块扩大到五块，扩大了我们几何学的视野，丰富了我们对几何学的感受，是十分有意义的改革。

　　唐：不过对于小学来说可能还是直观几何最为基本。张老师您认为直观几何学教学的重点是什么？

　　张：我想小学数学当中，直观几何最根本的或者最核心的内容就是用平面来描述立体。事实上我们生活的空间是三维的，接触的物体都是立体的，但是留在眼睛视网膜上的、画在教科书上的都是平面的；因此，空间图形平面化，通过平面图形想象空间物体是直观几何的重要内容。新课程的教材中，通过照相机从“不同角度下拍摄照片”，通过三视图科学描述简单对象，都是要用平面图形描写立体事物。

　　什么是长度、面积、体积

　　唐：小学教材中大都这样表述面积和体积：“物体表面或平面图形的大小叫面积”，“物体占有空间的大小叫做物体的体积”。这是它们的定义吗？

　　张：这些只是对面积、体积的描述，不是严格的定义。因为总是先有面积、体积的定义，才能谈大小。在严格的定义里不能出现“大小”的词汇。人的概念有两种，一种就是生活中自然形成的，比如说面积、体积，大家都明白，不必给出严格的定义（那是大学数学课程的内容）。现在的教材上，把体积说成“占有空间的大小”，要学生记住，实在没有必要。事实上，要理解“空间”，比理解体积更困难，往往是越解释越糊涂。这说明，对于这类定义不要太当真。在小学里，学生头脑里的体积直觉，已经够用了。

　　唐：在课堂上，我们会看到类似“排水法测土豆的体积”的案例。

　　张：那是物理方法。数学上可以运用，做一些教学实验。但是，数学的本质是如何“计算”某些图形的面积和体积。注意是找出“计算”的方法和公式，并不是一味地度量。面积的严密定义是“一些集合类上定义的有限可加、运动不变、单位正方形面积为1的集合函数”。这是大学里研究的问题。但是在小学课堂上，要让小学生体会面积、体积的一些特征：例如可以演示，不相交的两图形合并后的面积是两图形面积之和，图形搬来搬去，其面积不变，进而可以用单位正方形的割补、拼接去度量复杂图形面积，等等。

　　小学里为什么要渗透平面坐标思想

　　唐：小学数学为什么要渗透平面坐标思想？坐标的核心思想就是确定位置吗？

　　张：很多的教案都这样说，其实不准确。学习坐标确定位置，好像用经纬线确定地球表面上的位置一样，是地理学的研究目标。数学课程中更重要的是用坐标来表示几何图形。例如，两个坐标都一样的点（y=x）；第一个坐标为1的点（x=1），等等，都能表示一类直线。同样也可以用坐标描绘一个矩形的“熊猫馆”。

　　唐：谢谢张老师，帮助我们基于数学的本质来分析这些问题，很受启发。

　　张：谢谢，希望有更多的机会与小学数学教师交流数学问题。

　　（本文由2008年教育部暑期中西部小学数学培训电视节目脚本压缩而成。）

　　（原载《人民教育》2009年第2期）