本期话题:教育是否更应该关注潜能 课例 “鸡兔同笼”问题的另类教学 ● 施银燕 困惑与思考 “不仅要教知识还要教方法”已经成了数学教育界的共识。但是教什么方法却众说纷纭。不管什么词,加上一个“法”字就成了数学方法,这是普遍现象。怎么才能称得上是数学方法?我认为应该蕴含了对数学理论与本质认识的数学思想,换言之,应有数学思想的灵魂。我们首先要做的是,对一般的数学方法和“招数”做出区分,对方法也应分出层次:如果把整个方法体系看作一棵大树的话,那么,有一些方法是根,另一些方法便是枝叶。小学里,无疑更应该关注有深刻背景的、能广泛迁移的、具有生长性的方法的根。带着这些认识,我开始了我的“鸡兔同笼”之旅。 在我国,“鸡兔同笼”问题作为一类有趣又重要的数学问题的代表,大量出现在各种数学书中。但是进入小学数学教材,近20年里,还是头一次。 这个内容到底该怎么教?与针对学有余力的孩子开设的数学乐园的教学又有什么区别?已有的教学中有哪些值得借鉴? 我调查了一个班的学生,几乎人人知道“鸡兔同笼”问题,人人在课外学过,甚至一说到“鸡兔同笼”问题都会用上假设这个词,而基本能模仿,套着路子用假设法解题的不到1/4,真正理解的就更少了。问及我曾经辅导过的参加数学竞赛的学生(现在北大、清华、人大等就读),说到“鸡兔同笼”问题,他们几乎不约而同地选择了列方程来解。5人中有2人甚至在我的一再提醒下,还是告诉我,忘了怎么用假设法了。 我自当小学数学老师这么多年一直和数学竞赛打交道,“鸡兔同笼”问题就是假设法对我而言早已是天经地义的事,但是我问我自己:这方法是我自己想出来的吗?显然不是。如果说方法是普适性很强的东西,我更愿意把假设法称作是一种术,招数。 方程尽管是普遍适用的方法,但对没有系统学习代数知识的小学生而言,如何设未知数,如何找相等的数量关系,尤其是如何解这么一个方程都有相当的难度,中学教材也涉及这部分内容,我没必要提前教。同一内容,可以反复思考,不同阶段有不同的侧重点,思考调查后,我给这节课做了这样的定位:以“鸡兔同笼”问题为载体,教学最原始,而又最能广泛迁移的尝试法。 没上这节课之前,我对尝试法打心眼里排斥,总觉得这是极没有思维含量,非常原始的一种方法,让人不由自主地想到行为主义关于动物学习的“试误”说。动物都会的本能,还用学吗?在对二者不同本质的探寻中,区别逐渐清晰:动物的“尝试”没有目标,是盲目的试,而我们要做的是有计划、有顺序的尝试,需要理性地分析和调整,如何基于数学思考进行分析调整是这节课所要解决的问题;尝试过程中伴随着不断的猜测,等猜测变成确定的规律之后,就达到了尝试的最高境界——不试。动物尝试过程中,没有毅力一说,不放弃的唯一理由是外在的刺激——食物的诱惑,我们需要的是自我激励,是勇气坚持。反复思考之后,我感到,尝试法有其独特的价值。 课堂实录 一、提出问题。 师:喜欢猜谜吗?有个问题,它历史悠久,至今已经有1500多年了;它流传广泛,世界上许多国家的大人孩子都研究过它;它出自我国古代的数学名著《孙子算经》;问题里提到两种常见的动物—— 生:“鸡兔同笼”! 师:知道“鸡兔同笼”的请举手! (全班都举起了手。) 师:大家都知道啊!既然这样,说说看,你都知道些什么? 生1:就是鸡和兔关在一个笼子里,告诉你有多少个头,多少只脚,然后问你有几只鸡,几只兔。 生2:我还知道解决这个问题,用假设法。就是假设全是鸡,然后算算有多少只脚,再和题目中的脚数相减,看看相差多少,然后要用鸡换成兔,就能求出兔的只数。 师:有多少同学会他说的这种假设法? (大部分学生举起了手。) 二、引导尝试。 师:这么多同学都会。那这节课我们还干什么呢?这样,我教你们另外一种方法,你们还想学吗? (生点头。) 师:(故作不解地)为什么? 生1:我认为只有自己的方法是不够的,学习新的方法可以提高我们的思维能力。 生2:学习新方法,不但可以完善自己原来的方法,而且可以检验一下原来的是不是对。 生3:不同的方法可能有它不同的适用范围! 师:说得真好!我这儿就有一个“鸡兔同笼”问题。(出示:鸡兔同笼,有12个头,30条腿。鸡、兔各有几只?)我向大家推荐的方法是——(板书)尝试。什么是尝试呢? 生:我认为就是自己想一个数,再到题目里检验一下,看看对不对。 师:是的,“尝”在字典里就是“试”的意思,尝试就是(生插话——试试)。说到尝试,其实同学们一定不陌生,生活中经常会用到。比如,我给你一串钥匙,让你去开办公室的门,你要不知道是哪把钥匙的话,这时就要—— 生:一把一把地试。 师:一般来说,尝试一次就成功不太可能。你准备先试什么,再试什么,有一个初步的考虑后,拿出课前发的表格,把尝试的过程写在表里。 (学生独立尝试,教师巡视。约3~4分钟后,小组交流。教师深入2~3个小组倾听,偶尔提问。) |