“鸡兔同笼”问题的另类教学

　　本期话题：教育是否更应该关注潜能

　　课例

　　“鸡兔同笼”问题的另类教学

　　● 施银燕

　　困惑与思考

　　“不仅要教知识还要教方法”已经成了数学教育界的共识。但是教什么方法却众说纷纭。不管什么词，加上一个“法”字就成了数学方法，这是普遍现象。怎么才能称得上是数学方法？我认为应该蕴含了对数学理论与本质认识的数学思想，换言之，应有数学思想的灵魂。我们首先要做的是，对一般的数学方法和“招数”做出区分，对方法也应分出层次：如果把整个方法体系看作一棵大树的话，那么，有一些方法是根，另一些方法便是枝叶。小学里，无疑更应该关注有深刻背景的、能广泛迁移的、具有生长性的方法的根。带着这些认识，我开始了我的“鸡兔同笼”之旅。

　　在我国，“鸡兔同笼”问题作为一类有趣又重要的数学问题的代表，大量出现在各种数学书中。但是进入小学数学教材，近20年里，还是头一次。

　　这个内容到底该怎么教？与针对学有余力的孩子开设的数学乐园的教学又有什么区别？已有的教学中有哪些值得借鉴？

　　我调查了一个班的学生，几乎人人知道“鸡兔同笼”问题，人人在课外学过，甚至一说到“鸡兔同笼”问题都会用上假设这个词，而基本能模仿，套着路子用假设法解题的不到1/4，真正理解的就更少了。问及我曾经辅导过的参加数学竞赛的学生（现在北大、清华、人大等就读），说到“鸡兔同笼”问题，他们几乎不约而同地选择了列方程来解。5人中有2人甚至在我的一再提醒下，还是告诉我，忘了怎么用假设法了。

　　我自当小学数学老师这么多年一直和数学竞赛打交道，“鸡兔同笼”问题就是假设法对我而言早已是天经地义的事，但是我问我自己：这方法是我自己想出来的吗？显然不是。如果说方法是普适性很强的东西，我更愿意把假设法称作是一种术，招数。

　　方程尽管是普遍适用的方法，但对没有系统学习代数知识的小学生而言，如何设未知数，如何找相等的数量关系，尤其是如何解这么一个方程都有相当的难度，中学教材也涉及这部分内容，我没必要提前教。同一内容，可以反复思考，不同阶段有不同的侧重点，思考调查后，我给这节课做了这样的定位：以“鸡兔同笼”问题为载体，教学最原始，而又最能广泛迁移的尝试法。

　　没上这节课之前，我对尝试法打心眼里排斥，总觉得这是极没有思维含量，非常原始的一种方法，让人不由自主地想到行为主义关于动物学习的“试误”说。动物都会的本能，还用学吗？在对二者不同本质的探寻中，区别逐渐清晰：动物的“尝试”没有目标，是盲目的试，而我们要做的是有计划、有顺序的尝试，需要理性地分析和调整，如何基于数学思考进行分析调整是这节课所要解决的问题；尝试过程中伴随着不断的猜测，等猜测变成确定的规律之后，就达到了尝试的最高境界——不试。动物尝试过程中，没有毅力一说，不放弃的唯一理由是外在的刺激——食物的诱惑，我们需要的是自我激励，是勇气坚持。反复思考之后，我感到，尝试法有其独特的价值。

　　课堂实录

　　一、提出问题。

　　师：喜欢猜谜吗？有个问题，它历史悠久，至今已经有1500多年了；它流传广泛，世界上许多国家的大人孩子都研究过它；它出自我国古代的数学名著《孙子算经》；问题里提到两种常见的动物——

　　生：“鸡兔同笼”！

　　师：知道“鸡兔同笼”的请举手！

　　（全班都举起了手。）

　　师：大家都知道啊！既然这样，说说看，你都知道些什么？

　　生1：就是鸡和兔关在一个笼子里，告诉你有多少个头，多少只脚，然后问你有几只鸡，几只兔。

　　生2：我还知道解决这个问题，用假设法。就是假设全是鸡，然后算算有多少只脚，再和题目中的脚数相减，看看相差多少，然后要用鸡换成兔，就能求出兔的只数。

　　师：有多少同学会他说的这种假设法？

　　（大部分学生举起了手。）

　　二、引导尝试。