对话

什么方法更有价值

——王尚志①教授访谈录

　　● 施银燕

　　施银燕（以下简称“施”）：王教授，请教您一个问题：“鸡兔同笼”问题自从进入小学教材后，老师们的教法有多种，比如说大家都推崇“假设法”，因为它十分巧妙，但因为比较难理解和掌握，所以老师们想出了讲故事、画图等办法来诠释这种方法，大家赞叹其生动、易接受。也有老师非常欣赏《孙子算经》中的解法——“砍足法”，非常简捷并且还很有“文化”味。相比而言，我们这节课用的尝试就有那么一点争议：是不是太笨了？在您眼里，您觉得这些方法哪种更好一些？或者说在小学里怎么教更合适？

　　王尚志（以下简称“王”）：首先，我们先不谈方法的好和坏。先跳出这个问题，站在学生的角度想一想，如果第一次碰到“鸡兔同笼”问题，12个头，30条腿，我们会怎么想？从寻求解决这个问题的方法出发，我们可能思考得更深入。

　　也许，学生会觉得又是头，又是腿，很复杂，那么先从符合12个头这个条件想起：可能12只都是鸡，或者11只鸡，1只兔；10只鸡，2只兔……那么教师就可以充分利用学生的想法，鼓励学生沿着自己的思路走向成功。当然，在这个过程中，学生也许会出现无序、举不全的情况，教师可以顺势引导：还有哪几种可能？好教师帮助学生会不露痕迹，学生还以为是自己想出来的！

　　刚才这个方法我们不妨称为“穷举”法。那么也有学生可能会从“6只鸡6只兔共36条腿”和题目要求的“30条腿”中去找差距，教师可以提醒“腿多了说明什么问题”，引导学生去发现！这样学生可以通过不断地调整，找到答案。在这个过程中，最重要的不是学生试了几次，而是能根据结果进行正确的推理，这样他们的认知水平就能很自然地迈向下一步。

　　施：在这个调整的背后是不是有点逼近极限的意思？

　　王：可以这么理解。你要说在小学里教极限，教区间套，那不现实，但这里便完全可以渗透这些东西。但是有的时候，老师往往太着急，急于走向既定的结果，于是学生就失去了锻炼推理能力的机会。

　　施：是的，只有过程充分展开了，方法的渗透才有可能。

　　王：再比如说你们说的假设法，讲得很生动，让兔子都起立，这样地上就只有24条腿，实际有30条，多的6条腿是谁的？是兔子的前腿，于是问题就解决了。而这里我们需要让学生思考的是，为什么要让兔子站起来？

　　也可能学生会根据条件想到，鸡+兔=12，这与学生原有认知接轨，很有道理，这不就是方程吗？进一步：兔×4+鸡×2=30。可能我们老师比较容易忽视这种表达，非要xyz才是方程，事实上，符号是数学的语言，但符号是人定的！

　　施：我倒觉得这种很朴素的方法是我们希望看到的，但好像学生不太容易想到。

　　王：学生自然而然产生的方法究竟是怎样的，我们可以再去做个调查，这是很有意义的事。

　　现在老师们中间有一个认识值得讨论：教最巧的方法是最好的，认为巧是聪明的标志。我建议对好方法作重新思考：对学生而言哪个更自然，可能更为重要。因为一方面它能树立起学生解决问题的信心，另一方面能给学生更多的空间。不存在最好，各种方法都有其可取之处和不足之处。从数学的角度看，我们首先需要思考的是：什么方法更有潜能，它的适用范围更广泛？是通性通法。从这个角度看，我们绝不能贬低穷举法。穷举在数学上可说是最朴素也最广泛的方法，它是我们分类思考必然的结果。再比如我们刚才举的逼近的方法，6只鸡6只兔，一共36条腿，腿多了；10只鸡2只兔，28条腿，腿少了，那么结果一定在这个范围之内，再不断调整。这里体现的思想，在以后整个高等数学中都占十分重要的地位。连续函数f（x），如果f（a）>0，f（b）<0，则必有f（x0）=0（a<x0<b）。当然，这个东西我们老师了解即可，没有必要也不能向学生卖弄。

　　施：您说的对我们很有启发！好方法，从学生的角度看，它是否自然，是否来自学生，也就是一定要有生成的基础；从数学的角度看，得看它在整个数学体系中的地位，就是您说的是否有潜能。我甚至觉得这两者往往是一致的，越是自然的，也越有潜能！谢谢您！

　　① 王尚志系《高中数学课程标准》研制组负责人之一、首都师范大学教授。