研究者也发现这种理论驱动的教学与中国大陆盛行已久的数学教学特点相一致。顾泠沅（1991，1994）提出了中国数学教学的变式理论。“变式”的字面意思就是“变化的范式或形式”。接下来我们根据顾先生的研究来阐述“用变式进行教学”这种想法，并分析其和变易理论变与不变范式的联系。

　　从1977年起，顾泠沅的研究团队在上海青浦对数学课堂进行了深入的观察和实验。他们认为用“变式”来教数学是一种好的方式。他还提出了中国数学教师经常无意识地、凭直觉使用的两种类型的变式，即“概念性变式”和“过程性变式”。概念性变式主要有三个目的（Gu，Huang，& Marton，2004）：

　　（a）帮助学生将具体经验与抽象概念联系起来，从而使他们能够“从不同的形象和具体的例子中归纳出概念”。例如，先根据学生的日常经验来解释异面直线的含义（图1中的实物模型）；然后将实物模型绘制成抽象的图形（图1中不同的图形）。

　　（b）通过对比标准的与非标准的特例来加强学生“对概念本质的理解”。这样，学生就能够区分出概念的本质属性。例如，通过不同的非标准图形，突出垂直、平行四边形、三角形高的本质属性（见图2）。

　　（c）帮助学生区分什么是概念本身，什么与此概念无关。例如，介绍某个概念的图形以及不属于这个概念的图形（见图3）。

　　在上面的例子中，顾泠沅所说的“概念性变式”类似于变易理论讲的类合和对比这两种变易范式，即通过多种不同的具体实例概括出一个共同的核心概念（如上面的a），或将概念与不属于这一概念的例子进行对比（如上面的c）。

　　1998年，为了揭示香港小学中优秀的中文和英文教学的本质特征，研究者（Marton等，2004；Marton & Morris，2002）运用变易理论进行了一系列研究。结果表明，实际学习结果与预设的学习目标并不是很相关，而是与课堂上构建的变与不变的范式比较相关。植佩敏（Chik，2006）分析了三组中文课，进一步阐述了教授同样主题的教师是怎样备课、怎样使用不同的变与不变的范式以及这些怎样造成学生不同的学习结果的。

　　例如，在两节二年级的中文课上，教师都使用同样的课文，而且表面上看来他们都是要帮助学生学习同样的一组生词。在其中的一节课上，生词本身始终保持不变，老师同时向学生展示词的三种属性（形、音、义），并变化其使用语境（作为独立的词、作为句子一部分的词、与课文主题的关系）。这种变与不变的范式起到了融合的作用，能帮助学生将词语的不同方面，及其与课文这个整体联系起来。在另一节课上，教师按照一定顺序分别教词语的三种属性。这种不同的范式强调了词语的属性。保持一个属性不变，变化不同的词语，通过类合来帮助学生识别出词语的每一个属性。

　　结果表明，学生学到的东西与他们在课堂上体验到的变与不变范式有着密切的关系。那些能够识别出词语不同属性的学生在书面测试中的表现要好于他们的同伴，因为书面测试要求学生对词语的不同属性有较好的掌握。

　　因此，从上述教授生词的研究以及中国过去多年进行的大规模数学教育研究（如前所述）中似乎都可以得出这样的结论：优秀的中国式教学的一个突出特征就是对变与不变范式的系统运用。

　　如上所述，对变与不变的系统运用是中国数学教学的一个特点。中国与西方数学教学方式的最明显不同在于，前者在教师介绍完每一个主题之后，接着就要求学生回答一系列精心设计的问题，每个问题都是针对主题的某个方面设计的；而后者在教师介绍完新主题之后的问题往往都是些毫不相关的同类问题（参看Haggstrom，2008）。有趣的是，大约在2000年前，在中国很有影响并流行甚广的经典数学论著就已经十分注重这种对变与不变范式的系统运用。

　　马（Ma，2000）分析了最具影响力的数学著作之一《九章算术》中的问题设计。她着重分析了第七章：“盈不足”。她发现，这一章对问题的变易进行了精心的设计，以此来说明四种情况中计算盈和不足的方法，即一盈一不足、两盈和两不足、一盈一适足、一不足一适足。在同一个买卖东西的情境中（不变），呈现给学习者不同的数（从较小的正整数，到简单的分数，再到较大的正整数）以及复杂程度不同的问题（从不需要化简，到需要用分数做简单化简，再到不可化简分数）。之后再使用不同的问题情境，要求学习者使用上述方法进行解答。

　　历史上另一个运用变与不变的例子可以追溯到古代中国人对文章意义的理解。尤其是汉代以前的文章都是高度简练而且没有标点的。因此人们不能想当然地阅读和理解这种文章，而必须注意到文章可能的多种意义。下面以《论语》中的一句话为例。

　　在“加我数年五十以学易”这句话中，由于对“五”和“十”这两个字的不同理解，使得人们对这个句子有着很不同的解释。这两字常被看作是一个词“五十”，即“五十岁”。这样，句子意思就是“如果我能多活几年，我会在五十岁时去学《易》”。这种解释的一个主要依据是孔子在《论语》中提到的：“五十而知天命”，意思是“我五十岁时懂得了命运”。然而，俞（Yu，2000）根据那个时代包括《论语》在内的许多文章指出，两个或多个数量词一起使用时，在当时经常用来表示“几年”的意思。那么，这个句子的另一种解释就是：“如果我能多活几年，我会用五到十年的时间去学《易》。”

　　这个例子说明，理解中国古代文章有两个重要的方面。首先，中国古代高度简练且无标点的文章中，同样的文章（不变）包含了意义的模糊或变易。其次，这又与字的部分与部分（一个词的不同部分）以及部分与整体（文章中的词）之间的关系有关。面对这种模糊性，古代中国人似乎形成了一种对词语或文章“去模糊化”的方式，也就是依据不同的情境或者人（变化）对词语或文章（不变）的使用。换句话说，古代中国人（近代中国人可能少一点）已经使用变与不变来理解词语和句子的意义。

　　因此，变易理论所描述的变与不变的观点，不仅可以用来解释当代优秀的中国大陆数学教学和香港语言教学的特点，而且这种系统使用重复和变易来进行教学或学习的实践也似乎有一定的历史根源。《老子》或《道德经》一书的思路可能会给我们更多的启示。

　　《道德经》的认识论既是感觉的又是矛盾的。一方面，道的展开是从无名（未分化的情境或整体）到根据人们的不同理解而命名的万事万物（整体或部分）；另一方面，对事物的理解需要掌握这个事物正反两个方面（变易）。这与变易理论对学习的基本观点一致，即认为，学习是对起初交织在一起的整体及部分的理解不断清晰化和整体化的过程。在这个过程中，对比这种变与不变的范式，在《老子》所揭示的事物之间的矛盾关系中似乎起着关键的作用。

　　在这篇文章中，我们阐述了变易理论的几个重要观点，考察了中国古代和当代的教学实践，并尝试在变易理论思想与中国式教学之间建立起联系。尽管其与中国古代思想之间可能的联系还需要进一步探讨，我们仍相信中国式教学的一个突出特点就是：关注学科内容并系统运用变与不变的范式来进行教学。这或许可以解释中国学生在国际竞赛中的优异表现。

　　（作者单位分别系香港大学心理学院、瑞典哥德堡大学。本文由郭建鹏、刘晶晶、易进译。参考文献略。）

　　（原载《人民教育》2009年第8期）