那么，度量角的大小到底是不是必不可少的技能？

　　刚开始，我搜寻生活中的角，发觉生活中的角都不需要量，因为大多是直角。一个星期里，我都一筹莫展。一天，我躺在床上发现，衣柜里衣领的角是千差万别的，进而我发现牙刷上也有非常讲究的角，椅子靠背向后倾斜一定的角……真是定能生慧，随着定力的生长，我眼中看到的都是各种各样的、大小不同的角。

　　那为什么要量角呢？

　　又经过三天的搜寻、比较、思考，我设计了大头儿子和小头爸爸配玻璃的情境：小头爸爸在商场要为家中配两块扇形玻璃（课件出示两块扇形玻璃，半径相同，一个圆心角是35°，另一个圆心角105°），但忘记量大小了。因此，他打电话给家中的大头儿子。大头儿子先找直尺量出半径，再量圆心角多大时犯难了。怎么办呢？

　　这样的情境暗含着量长度和量角度的联系与区别。量长度是学生已知，量角度是学生未知。长度是一维的，角度是二维的。但量角度也要像量长度那样从0刻度线开始。这样可以唤起学生量长度的经验，为探索量角度的方法提供支撑，还能解决学生分不清看内圈刻度还是看外圈刻度的问题，为课尾总结度量的相同点做了铺垫。

　　35°和105°的两个角，为学生尝试用三角尺上30°的角来比着量提供了空间，但又不正好是30的倍数，就为统一度量单位做了孕伏。

　　打电话的情境，暗自规定了不可以用比划来解决问题，没法用普通语言表达清楚，凸显了数学化表达的价值。

　　可是，和大家讨论的时候，刘坚老师不认可，理由有二：第一，这样的情境是很有价值，可是一般的老师想不到；第二，这样的情境不常见，有些假。

　　我忍痛割爱，决定另觅新景。

　　我以学生的视角来看世界，从儿童的生活中来寻找。终于，滑梯进入了我的视域。这是地球人借助自身质量来玩的游戏，不管是城市还是乡村的小孩一定都玩过。要比较，得有两个滑梯，于是我拿起笔在纸上画了两个滑梯，画完第二个滑梯，我不由自主地画出了第三个更陡的滑梯。看着自己画的三个滑梯，想象着课堂上学生看到第三个滑梯时的情景，我幸福地笑了。

　　我终于找到了既真实、常见又有趣，还能引发学生学习需求的滑梯情境。

　　想到前两个滑梯很正常，但到第三个滑梯是得益于我懂得“极限思维”。

　　大家都知道苹果掉到牛顿头上的故事，可是可能好多人不知道牛顿当时是怎么想的。我从牛顿传记中知道牛顿是这样想的：苹果为什么会掉到地球上来而不是飞上天呢？如果苹果树有100英尺高，苹果还掉到地球上来吗？200英尺高呢？1000英尺高、10000英尺高呢？假如苹果树有一天长到月亮那么高，苹果还会落到地上吗？

　　十多年前，我曾在报纸上写文章介绍一道题的解法：“两人在圆桌上轮流平放一枚同样大小的硬币。谁放下最后一枚而使对方没有位置再放时，谁就获胜。假设两人都是高手，试问是先放的胜还是后放的胜？”有人认为是先放的胜，有人认为是后放的胜，还有人认为谁先谁后无所谓，更多人莫衷一是。其实，您只要假想——如果圆桌面很小，小得和硬币一样小，那么是先放的胜还是后放的胜就不言自明了。当然，您也可以把硬币想得很大，大得和圆桌一样大，答案是一样的。

　　极限思维就是把所思考的问题及其条件进行理想化假设，当假设被一步步推到极端时，问题的实质就会水落石出。我想我能够想到第三个滑梯，就得益于这样的思维方式。爱因斯坦说：“你能不能观察到眼前的现象，不仅仅取决于你的肉眼，还要取决于你用什么样的思维，思维决定你到底能观察到什么。”我们要设计出一节有创新的课，有价值的课，就要能从司空见惯的场景中，看到别人看不到的，想到别人想不到的。怎样才能做到这一点呢？爱因斯坦的话给出了答案：我们要完善自己的思维方式。

　　怎样完善自己的思维方式呢？我的体会是多看哲学的书，多看思维科学的书，多学习、借鉴、实践。

　　三、“我有没有坚持想下去？”

　　同样一个人，想过，而且也是会想的，为什么他一开始没有想到解决问题的办法，后来却想到了？

　　读初三学化学的时候，老师要我们背元素周期表，太枯燥了，真懒得背。化学老师告诉我们，这个元素周期表是化学家门捷列夫做梦的时候想到的。这让我们觉得很神奇。后来我看资料发现，有一位记者问了一个十分可爱的问题：“请问门捷列夫，您是怎样在梦中发现的？”门捷列夫回答说：“这个问题我大约考虑了20年，而您却认为是我一觉醒来就想到了，没这么简单。”

　　对一个问题持续思考20年，是一种怎样的精神？不就是《管子》中说的“思之思之，又重思之，思之不通，鬼神将通之。非鬼神之力也，精气之极也”的坚持精神。

　　我非常喜欢美国诗人P·C·库利治的《坚持》：

　　世界上没有什么能代替坚持。

　　才能不能，

　　没有什么比有才能的失败者更常见。

　　天赋不能，

　　没有发挥作用的天赋跟没有天赋一样。

　　光有教育也不能够代替坚持，

　　世界上到处都是受过教育的无能之辈。

　　而坚持和决心结合在一起，

　　就是战无不胜的力量。

　　我一看到这首小诗，就会想起很多成功和失败的事例。汶川大地震中坚持90多小时、140多小时、162小时的英雄们。奥运冠军的成功无一不是坚持结出的硕果。人类所有的成功，几乎都是坚持的结果；人类所有的竞技，几乎都是坚持的较量；人类所有的创造，几乎都是坚持的作用；人类所有的美好品质，都需要用坚持去修炼。

　　《圆的认识》一课，我思考、解决了30多个问题，靠的就是坚持。

　　《角的度量》在教材中，是先学量角再学画角，但我在讲这节课时，创造性地让学生先画角然后再量角。为什么我能把教材先后顺序给倒过来？这么做好不好呢？我画角的创意是怎么想出来的呢？

　　首先是回忆：当学生第一次拿着量角器，不会量角的时候，他会怎么做？常常是拿着量角器圆弧和直边夹的角去比要量的角（如下图），然后报出“100°”。

　　然后是追问：学生为什么这么做？我的分析是：学生朴素地认识到要想量角，就要拿角来比角，而学生从量角器上找不到角。

　　再思考：量角的本质究竟是什么？为什么以前我们那么费力地教，总结概括出“二合一看”等要诀，效果反而不好呢？经过思考，我明白了，我们讲了量角的技术要领，但没有讲量角的实质是什么，缺乏整体把握。这些要诀看似简捷，其实是我们成人的偏好，要让以形象思维为主的孩子们想象出这四个字背后的内涵是挺难的。

　　又经过几天的思考，我终于发现，量角其实就是把量角器上的角重合在要量的角上。抓住这一点，只要让学生认识了量角器上若干个大小不同的角，怎样量角的问题就迎刃而解了。

　　接着搜寻：画出量角器上的角的方法。我尝试后发现，水彩笔在量角器上画不出角，只能在起笔的地方留下一个点，那该怎么办呢？我去西单商场询问营业员，知道了油画笔才能画。我当即买了50支油画笔。试讲很成功。老师们非常响亮的掌声提醒我：如果我的发现是有价值的，那也不能让全国的老师都去买油画笔才能教《角的度量》？不用油画笔行不行？带四根牙签来，行不行？用牙签可以在量角器上摆角，牙签的两头是尖的，可以很好地靠在一起，组成一个角。实际一做，不行。牙签摆出的角会滚动。因为在量角器上摆出角，不是目的，目的是通过交流认识量角器上的角。那怎么办呢？琢磨了几天之后，一个周六的下午，我打开办公室的复印机，平铺了四个量角器，一按钮，出来了纸量角器。在这样的纸量角器上随便用什么笔都能画角了。

　　“思之思之，又重思之”，“愚者千虑，必有一得”。孟子说：“人恒过，然后能改；困于心，衡于虑，而后作；征于色，发于声，而后喻。”明白了这些道理，坚持想下去就一定能找到解决问题的方法。

　　四、“我想到的有没有记下来？”

　　数学大师陈省身教授生前要求南开大学数学所的每位老师家里都要挂一块黑板，以方便记录即时的想法。在他为自己设计的墓上，要求一定要有一棵树，并在树上挂一块小黑板，以方便路过的大学生及时记下自己的想法。

　　爱因斯坦说：“我没有什么特别的才能，不过喜欢寻根刨底地追究问题罢了。”爱因斯坦有一次在朋友家作客，突然想到了他琢磨了几天都没有弄明白的问题的思路，竟在朋友家的桌布上演算起来。

　　很多的创造，往往始于一闪念间。如果你能及时将其捕捉住并记录下来，再继续钻研，就有可能产生意想不到的成果。反之，任其飘零，很多创造就可能失之交臂。

　　我以前自恃记忆力好，常常不动笔去记录身边的数据、想到的话语，可是过了两天之后就想不起来了，深切地体会到了什么叫灵感稍纵即逝。现在，我养成了随时记录的好习惯，床头有专门记录梦中所思的小纸条。有几天不思考问题，那些小纸条还是提醒我专注业务、思考问题的好伙伴。有研究表明，容易激发灵感的时间是：早晨起床后，深夜睡觉醒来，进入梦乡后；三大场所容易产生灵感：躺在床上，步行时，在车船上。瓦尔特·迪斯尼曾说过，培养创造力有四个关键性因素：梦想、信念、敢于冒险和实践。因此，我们应该很好地运用梦境思维，记录下梦乡里的所思所想。

　　下面就是我备《角的度量》一课时做记录的小纸条。想到了就记一下，再想到就再记。

　　记得比较杂乱，是因为不是一次记下来的。

　　要设计出一节有价值的课，更重要的是热爱数学，热爱生活。艾青说：“为什么我的眼里常含泪水？因为我对这土地爱得深沉……”只有当你深爱着这片土地，真爱着生活，挚爱着数学，你就会“多情善感”，登山则情满于山，观海则意溢于海，才能看到更多生活中的美丽，才能看到感动我们的数学。好鸟枝头亦朋友，落花水面皆文章。我看“数学”多妩媚，料“数学”见我亦如是。我上出了一些大家认可的课，有人说我“勤奋”、“刻苦”，其实我自己不认为是“勤奋”、“刻苦”，我是在享受幸福，享受自己的全情投入，享受数学对我的青睐有加，享受生活对我的无微不至。

　　要设计出一节有思想含量的、创新的课，需要经历王国维先生《人间词话》里说的三种境界：第一境界就是当我们开始接触一节课的时候，觉得自己对这节课没有什么不清楚的，什么都明白，就像站在高楼之上什么都看得清清楚楚，望尽了天涯路。除了没有新点子，什么问题都没有。第二境界是当你去想了，回顾了之后，会发现很多的问题，但还找不到解决问题的方法。为此“衣带渐宽”，为此“人憔悴”。儿童文学作品《小王子》的作者、法国著名小说家圣埃克苏佩里把“创造”定义为“用生命去交换比生命更长久的东西”，因此，衣带渐宽人憔悴也值得。从第一境界到第二境界，也应了宋代理学家朱熹的话，他说：“读书，始读，未知有疑；其次，则渐渐有疑，中则节节是疑，过了这一番，疑渐渐释，以至融会贯通，都无所疑，方始是学。”怎么从第二境界突破到第三境界呢？坚持！创新思维就是要求我们必须对每个问题进行长时间的反复思考。当你坚持一段时间以后，就会发现，“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”。到了这样的境界，别人听完你的课，也会发出这样的感慨——“我怎么没想到？”

　　注释：

　　① 华应龙：《大成若缺认识圆》，《人民教育》2008年第3-4期。

　　② 华应龙：《让学习像呼吸一样自然》，《人民教育》2007年第2期。

　　（原载《人民教育》2009年第10期）