数学教师的特殊素养

　　孔：作为一名合格的中小学数学教师，除了具备上面所谈的一般素养外，还应该具有哪些特殊的数学素养呢？

　　史：在我看来，中小学数学教师至少还应具备以下特有的数学素养：

　　1． 具有扎实的数学专业基础。

　　最起码的要求是，对于中小学数学课程内容所涉及的几何学、代数学、统计与概率等领域的内容有初步的了解。

　　例如，小学数学教师不仅需要精通小学数学课程的相关数学内容，而且能够理解高中数学的基本内容，把握初中数学的基本内容，尤其是与小学数学关联密切的内容，如小学负数与初中负数的异同，小学方程与初中方程的关联，等等。

　　2． 全面把握数学学科知识。

　　特别地，比较清楚地把握数学科学体系中知识的核心思想，知道知识的来龙去脉，同时了解这些数学知识的教育价值。

　　例如，义务教育阶段数学的本质是研究“关系”——“数量关系，图形关系，随机关系”；分数的本质内涵，不仅在于它是一种有理数，而且更在于它的无量纲性。分数无量纲性的意义在于，能够把事物许多不可比的状态变成可比的状态。这一点，对于数学活动特别是数学建模来说，有时具有十分重要的意义。

　　函数作为最重要的一种数量关系，在中小学数学内容体系中处于主线地位。函数研究的是两个变量之间的数量关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系。其中，有三点是重要的，一是变量的取值是实数，二是因变量的取值是唯一的，三是必须借助数字以外的符号来表示函数。这些就构成函数定义的核心。关于符号表达，无论是借助解析式，还是利用图像或者列表，都是可以的。

　　义务教育阶段几何课程内容的教育价值，不仅体现在几何直观、空间观念、积累几何活动经验，而且也表现在演绎推理和归纳推理。

　　3． 准确把握教材的新特征，明确其重点、难点与关键。

　　为此，必须全面了解现行课程标准实验教科书的特点，实际问题的驱动是数学新教科书的突出特征，而问题的引入、概念的提出、公式的呈现，都充分体现出教科书在创设有利于学生自主建构的外在环境。

　　不仅如此，对于数与代数、统计与概率等数学课程中每个领域的突出特点，也要有比较准确的把握。例如，统计与概率领域的教学重点是发展学生的数据分析意识，培养学生的随机观念，难点在于，如何创设恰当的活动，体现随机性以及数据获得、分析、处理进而做出决策的全过程。

　　4． 坚持启发式教学原则，注重培养学生的学习兴趣与良好的学习习惯。

　　在教学中，必须贯彻启发式教学原则，最大限度地吸引学生积极参与课堂教学，重点处理好“预设与生成”的关系，帮助学生理清思路。而引导学生思考，关键是与学生一起思考。为此，教师必须经常与学生“换位思考”。

　　不仅如此，在教学中，教师要通过各种机会有计划、有目的地培养学生的归纳能力，帮助学生积累数学活动经验。

　　例如，在一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿与凳子腿加起来共有60个，有几个椅子和几个凳子？

　　这是典型的“鸡兔同笼”问题，但是，椅子和凳子相差一条腿，因而，与鸡兔同笼的原始问题相比，这更有利于学生进行“尝试”。为此，可以让学生列表尝试：

　　学生不难发现，随着椅子数量的减少，腿的总数在递减，而目前的总数是60，因而，还需继续尝试着增加凳子数、减少椅子数，最终找到符合条件的结果。

　　对于上面的凳子、椅子问题，仍然可以用尝试的方法列出方程，进而解决问题：

　　这样，合题意的方程为4×a＋3×（16－a）=60。

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　　这也许就是“过程的教育”——让学生自己探索答案，而不一定是通过教师讲道理、分析出答案。通过“道理”直接给出结果，固然是好的，但是，通过有规律的计算，寻求这个规律，这是得到一般结果的有效手段，也是我们过去教学中普遍忽视的内容。

　　总之，教师要学会站在学生的立场思考问题，只有这样，才能引导学生积极主动地思考。

　　关于数学教师素养的若干认识误区

　　孔：我们注意到，当前许多中小学数学教师对于涉及专业素养的问题产生困惑，存在若干认识误区，例如：

　　误区之一：技巧=技能，熟能生巧，于是进行大量的简单重复、反复训练。

　　误区之二：形式化=推理（追求格式）。

　　误区之三：逻辑是发现真理的主要方法。

　　我们应该怎样分析这些误区呢？

　　史：首先，技能、技巧是两个不同的概念，虽然技巧是技能的熟练化，但是，技巧≠技能。有关心理学实验表明，适度的技能训练可以实现熟练化，但是，过度的技能训练容易导致“熟能生厌”、“熟能生惰”，而不是“熟能生巧”。同时，目前充斥于中小学数学教学中的大量技巧性内容，其实更多是一些解题术，是“自古华山一条路”式的解题术，而不是具有普适性意义的内容，进行大量的、简单重复式的技巧训练，必然导致“高分低能”，对学生在数学上的可持续发展产生严重的不良影响。

　　其次，形式化≠推理，但是，逻辑=演绎。

　　推理既包括演绎推理，也包括合情推理。逻辑包括形式逻辑与数理逻辑，而形式逻辑构成通常意义下的演绎推理的主体。

　　演绎推理来源于亚里士多德。他在《工具论》中提出了演绎逻辑的基础作用。演绎推理是一种前提与结论之间有必然联系的推理。具体地说，是一种基于概念、按照规则进行的推理，因而是一种由一般到特殊的推理。就数学而言，演绎推理是基于公理、定义和符号，按照规定的法则进行命题证明或者公式推导。其基本形式是三段论。

　　数学的形式化就是指数学“符号化+抽象公理化”。正如我在《数学思想概论?图形与图形关系的抽象》中指出的：希尔伯特在《几何基础》中构建了一个形式化的几何公理体系，在这个公理体系中，我们能够体会到“形式化”的含义：不管我们讨论的对象的实质是什么，只要从已经定义了的、用符号表示的对象出发，依据所确定的几组公理以及认定的逻辑法则推导出的结论就一定是正确的，这便是理想中的、脱离了经验的数学。

　　其实，形式化是数学发展所必需的，形式是数学的重要特征之一，但是，过度的形式化，对于中小学数学有害而无益，即使在数学科学内部，一个命题正确与否的最终判断，并不完全是形式化公理体系内部的事情，仍然需要借助客观世界。

　　真理的发现与确认，与演绎推理和归纳推理都密切相关。演绎推理与归纳推理（即人们一般所谈的合情推理）在数学发展上分别起到不同的作用，其中，演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。真理的发现主要靠归纳推理。通过归纳得到的结论即便不能被演绎证明，那些结果也可能是具有一般性的，因为许多结论往往不在于对错之分，而在于好坏之分，现在科学界流行的计算机模拟就是基于这个思想。因此，我们不能说这两种推理能力哪个更重要，而必须强调这两种能力的有机结合，正如杨振宁先生所体会的那样。用演绎推理虽然不能发现真理，但用演绎推理能够发现错误，可以启发人们从另外的角度去思考问题，这对于发现真理也是有益处的。

　　如何增强自己的数学专业功底

　　孔：对于中小学数学教师而言，提高专业能力，不仅仅需要转变教育观念、增强教育教学功底，更需要不断增强自己的数学专业功底。你觉得教师该如何做呢？

　　史：如何切实提高自己的数学专业功底，这是当前中小学数学教师最为关切的话题。对此，我想，需要集中抓好三件事情：

　　一是理解数学抽象、推理、模型等核心数学思想，把握数学的主要思维特征。

　　二是正确理解中小学数学中的“关系”，从整体上把握中小学数学课程内容。

　　三是有针对性地深入研究不同学段中核心数学内容的学科本质，切实将数学专业功底的提高与研究中小学数学课程的核心内容融合在一起，而不是片面地（按照大学学习的方式）学习大学数学、现代数学的内容（虽然这也非常重要）。

　　例如，分别探讨小学数学中的分数、中学数学中的方程、函数等内容的本质，对于更好地从数学的视角把握中小学数学课程内容，至关重要。

　　孔：如何理解数学抽象呢？

　　史：数学研究“抽象了的东西”，是从现实世界中抽象出来的，依赖于人的经验的。正如恩格斯在《反杜林论》中所阐述的：纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系，也就是说，以非现实的材料为对象的。

　　今天，对于数学抽象的本质，我们可以达成这样的基本共识：真正的知识是来源于感性的经验、通过直观和抽象而得到的，并且，这种抽象是不能独立于人的思维而存在的。

　　数学抽象具有鲜明的层次性。就抽象的深度而言，数学抽象大体上分为三个层次：

　　第一层次：把握事物的本质，把繁杂问题简单化、条理化，能够清晰地表达，我们称其为“简约阶段”。

　　第二层次：去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物，我们称其为“符号阶段”。例如，从两个苹果、两匹马等等价类中，抽象出这类集合的共同特征，这就是2。而2是抽象了的，是符号，现实中并不存在，而两个苹果、两匹马只是2的特例、2的原型。事实上，两个苹果与两匹马相加，就不伦不类，而2+2=4则意义明确。

　　第三层次：通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般的意义上解释具体事物，我们称其为“普适阶段”。

　　数学在本质上研究抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象。这种抽象了的东西，就是数学研究所必须定义的最基本的概念。数学概念是人们在数量和图形方面对事物本质进行抽象的结果，那些抽象了的东西在现实世界中是不存在的，抽象了的东西只是表现在每一个具体事物之中。当然，抽象必须依赖于具体的人、必须依赖于具体人的抽象能力。因此，正如康德认为的那样，人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。人与生俱来的、与子代经验无关的“直观”的物质基础确实是存在的。但是，没有后天的经验，这种直观不能得到充分表达。不仅如此，直观并不是一成不变的，随着经验的积累其功能可能逐渐加强。数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确立依赖于数学抽象，依赖于数学推理。