孔：如何理解数学中的关系呢？

　　史：事实上，整个义务教育阶段和高中阶段的数学本质上都是在研究关系。具体来说，是在研究数量关系、图形关系和随机关系等三类关系，而其他相关的内容并不代表数学的本质。

　　孔：如何理解数量关系呢？

　　史：小学数学最为基础的内容是研究数及其运算，这就要接触到数字。而数字的本质在于多与少。而后，多与少在数学上就变成大与小，之后，逐渐产生了自然数。

　　孔：数学史显示，产生自然数实际上是非常了不起的。让学生理解自然数，其重要性体现在哪些方面呢？

　　史：产生自然数有两个最了不起的成果：

　　一个是从一类事物的共同属性中抽象出“数”。两匹马、两头驴、两个人的共同属性中都有2，能抽象出2是非常了不起的。中国古代数学对此的抽象非常差，几乎到了清朝都没有抽象出来，因而，中国古代数学几乎总是带有名数。其实，世界上根本没有2，只有两个具体思想的人、两瓶饮料，等等。

　　孔：能不能这样认为，在这里，自然数是一类有限等价集合的共同特征，是作为一类等价集合的标记而出现的。也就说，对于集合A={a1，a2，a3，…，an}，B={b1，b2，b3，…，bn}而言，它们之间可以建立一一对应关系（如，映射f：ai→bi，其中，i=1，2，…，n），进而，也就构成了一组等价集合，自然数n就成为这些集合A、B、…的共同特征之一。

　　史：这种理解，实际上道出了自然数的本质特征之一。

　　自然数中的第二个最重要的成果就是“位数”，这是数字中非常了不起的一件事情。个位、十位、百位、千位……你想想，大小关系有了的话，数是无穷无尽的，你只能用无穷无尽的数才能把它表示出来。事实上不用，10个字母就能把所有的数表示出来。为什么呢？因为有位数，在个位的2与在十位的2，其含义是不同的。中国过去有算盘，算盘体现了这种思想。但真正的表述是很困难的，一直到印度人，而后是阿拉伯人，最后由中国引入数位表示，所以说这个抽象是非常了不起的。

　　自然数产生之后，就有了自然数系，为了加法的封闭运算就产生了整数；然后，为了除法的封闭运算就产生了有理数；为了根号的运算产生了无理数，这样就产生了算术公理体系。一般来说，加法交换律、加法结合律、加法分配律，有0元素、有单位1，还有逆元素（如2与 在乘法中互为逆元素），满足这六条，运算一旦封闭之后，就构成一个算术体系。

　　正是由于大小而产生了序（如大小顺序）的关系。序的关系很重要，有些时候数字本身并不重要，只需要知道序的关系就可以了——它就能够提供一定的信息。比如，评价几种酒的好坏，只是评价这种酒最好喝，那种酒其次，而其中的具体指标往往不需要知道。到近代数学之后，序的关系变得越来越重要。

　　孔：如何理解图形关系呢？

　　史：义务教育阶段（尤其是小学阶段）图形的核心问题在于讨论图形的直觉和直观，而图形关系的核心在于分类。分类问题中最好处理的是在两个集合不交时。如果两个集合的交集是非空的，就不那么好分类了。两个集合如果存在包含关系，就更不好分了。

　　例如，将矩形、三角形放在一起，学生一下子就能分辨出来，这两个集合是不交的。但是，将矩形和菱形放在一起，就不太好分了，两个集合有交叉部分。最难的是矩形和正方形的分类，学生老也分不清，因为矩形包含正方形。

　　我认为，在小学数学教学中，分类问题是非常重要的。直到大学数学还在研究分类问题，如曲面分类，等等，而拓扑学主要就研究分类问题。

　　孔：当前，对于小学图形问题，大家普遍关心小学生数学学习方式的变革。你是如何看待这一问题的？

　　史：基于小学生的年龄特征和身心发展规律，小学图形关系的学习必须是直观几何式的，而空间观念、几何直觉的培养至关重要。

　　学生逻辑思维的训练和培养要在七年级以后才能正式开始，此时的逻辑也是基于直观意义的、物理背景的和非形式化的逻辑。

　　例如，对于平移、旋转来说，无论是小学阶段还是初中阶段，都不能从严格的几何变换定义出发来研究变换的性质，从而研究图形的性质，而是直观地理解平移、旋转使图形产生了运动，在不同的运动中，图形的对应点之间遵循着一定的变化规律。了解图形的变换，对于学生认识丰富多彩的现实世界、形成初步的空间观念，以及对图形美的感受与欣赏，都是十分重要的。通过画简单的图形和运用平移、对称与旋转设计有趣的图案，有利于学生对图形之间的关系有一些初步的了解，有利于丰富学生的空间观念。在认识图形的基础上，小学阶段必须加强对图形变换（平移、对称和旋转等）的初步认识，使学生更全面地感知和体验周围的事物，认识和理解图形，逐步形成空间观念，发展逻辑思维能力和合情推理能力。

　　当前，尤其值得关注的是，图形变换的课程内容载体的现实化、情景化和事例的代表性，同时，也要注意揭示其中所蕴含的数学含义，注意挖掘平移、旋转、轴对称、方位等的深刻内涵，以及彼此之间的关联，并在课程教学内容中加以恰当体现。这是深化义务教育几何课程内容改革的重要工作，也是数学课程标准修改所关注的重要问题。

　　孔：很多中小学教师谈起统计关系时，心里总是发虚。作为统计学的专家，你是如何看待统计关系的？

　　史：一般人认为，统计是这样的——它假定了一个模型：做一个实验只有两个结果，成功或失败。用0表示成功，用1表示失败，成功的概率是p，失败的概率是1—p。

　　其实，这个模型表示的是概率，统计在这里什么也没有。要说明统计，你必须调查研究，必须得到数据。对于上面的模型，你可以进行调查，在n次的实验中，成功了m次，那么，成功的频率是 ，结果表明，随着数据的丰富和积累（如n逐渐变大）， ≈p。于是，可以用频率估计概率p。

　　所以，统计是建立在数据基础之上的，理解统计必须让学生亲身经历数据的收集、整理和决策的过程。

　　孔：统计与概率、函数有什么区别？

　　史：事实上，函数、统计、概率三者的差异是非常明显的，例如：

　　小学1～3年级的同学都喜欢周星驰，4～6年级的同学都喜欢成龙。这是函数关系。

　　小学1～6年级的同学中，三分之一的同学喜欢周星驰，三分之二的同学喜欢成龙。这是概率关系。

　　而调查显示，小学1-6年级的同学中，三分之一的同学喜欢周星驰，三分之二的同学喜欢成龙。这是统计关系。

　　如果喜欢周星驰的，用值0表示；喜欢成龙的，用值1表示，那么以上三种情况可以分别用数学式子表示为：

　　（1）x∈{1，2，3，4，5，6，}，

　　y∈{0，1}，y=。

　　（2）ξ服从分布 ；

　　（3）调查数据显示，P{y=0}= ，而P{y=1}= 。

　　总之，函数关系表达的是一种确定关系，概率关系表达的是不确定关系中的理想状态（即应然状态），而统计关系表达的是不确定关系中的实然状态。

　　孔：分数曾引起世界数学界、教育界的讨论，直到现在，中国同行还在讥笑“美国中小学教师认为是合理的”。

　　你是如何看待这类问题的？

　　史：这实际上涉及如何理解分数的含义的问题。就整个中小学数学来说，分数主要有两个作用：一个是作为有理数出现的一种数，也就是，作为在运算中出现的一种数，它能和其他的数一样参与运算；另一个作用是以比例的形式出现的数。而后者是小学分数教学的要点。因此，最重要的分数应该是真分数，它代表一个事物的一部分，其本质在于它的无量纲性。比如，盘子大小的 代表的实际意义，与足球场大小的 代表的实际意义是不尽相同的，但是在讨论分数时又是等价的。

　　但是，对于“等价”的使用，一定要慎重，特别是对于与“记数”有关的事物。

　　孔：分数有时也表示成百分数，二者是等价的，但有区别，如何理解这个区别？

　　史：以 为例，在通常情况下， =50%，二者是等价的，但是，二者的意义并非完全相同，很多情况下并非真正“等价”。例如，投篮球，连续投30次，投中15次，与投两次，只投中一次，前后两次的命中率虽然都是50%，但是给人的直观感觉是不一样的。前者的命中率显得更稳定一些，而后者可能是偶然的。

　　孔：我们注意到，分数线有比的含义，你如何看待这里的比与数学上的“：”以及现实生活中的比的区别？

　　史： 虽然等于1∶2，但二者的意义有所不同，不宜混为一谈。在小学数学中，对于以比例形式出现的分数，在计算加法时更要十分慎重，有时候加法后的结果可能与原意不符。比如，甲乙两个队踢足球，第一场2∶3，第二场1∶2，如何描述总的比赛结果呢？如果用分数的加法，结果为 ，这显然是不合常理的。

　　在现实生活中，对于处理分数的加法，有时候需要分子加分子、分母加分母。对于这个例子，

　　还是比较合理的。

　　这是因为，在小学数学教学中，分数的加法遵循有理数加法法则。下面的例子更为明显：

　　在某种药物的临床试验中，试验人员对一批患者进行了疗效跟踪调查。其中，男性患者50名，有疗效的23人；女性患者50人，有疗效的27人。此时，男性的有效率为=46%，女性的有效率为=54%。现在需要描述总体疗效，总的有效率只能是 =

　　。

　　在中小学数学统计教学中，可能会涉及到上面的类似问题。作为中小学数学教师，不仅需要了解数的运算，还需要与实际生活联系起来，了解数的本质和运算的意义。在此基础上，合理地组织教学是必要的。特别是，当学生提出类似问题时，教师应当思考其中是否有合理的成分，是否有生活的背景，而不是一味地否定学生的“怪想法”。

　　孔：2007年12月，我去日本京都大学讲学，对于，日本同行非常迷茫。对此，我是这样分析的： 表示第一个小组中的个体1（男性人数）占总体2的比例，而 表示第二个小组中的个体1（男性人数）占总体3的比例，现在将两个小组合并组成一个新的总体，此时， 表示的是男性人数占新总体的比例，第一个小组在新总体中占有 的份额，第二个小组在新总体中占有 的份额，因而， ? ＋ ? =。

　　正是因为两个小组在新总体中所占的比例不同，因而，不能采取分子加分子、分母加分母的计算方法。

　　史：这种理解是正确的。这里的 、 就是权重，只有当总体中各部分所占的权重相同时，采取分子加分子、分母加分母的计算方法，其结果才能与有理数加法的结果相同。

　　孔：分数的无量纲性是国内外首次出现的新观点，你能否进一步说明它的重要性？

　　史：分数无量纲性的意义在于，能够把事物的许多不可比的状态变成可比的状态。这一点，有时候对于数学活动特别是数学建模来说，也是有意义的。比如，一个小国和一个大国，其老百姓的生活质量和富有程度，在很多情况下并不是可比的。但是，一旦转换成人均GDP指数，或者得到恩格尔系数，就可以进行相互比较了。

　　总之，在理解分数时，不能只考虑它是有理数，还要考虑到它是一种无量纲的数。从分数的无量纲性，我们可以更清楚地把握小学分数教与学的核心要点，以及分数课程教学设计的侧重点。

　　作为中小学数学教师，要学会感悟、反思和体验已有的数学教学内容的本质，尤其是找到并真正感悟中小学数学课程教学中的那些核心内容，及时地反思自己的数学教学工作，自觉体验和不断完善自己对教育的理解，并与他人及时地进行沟通、交流。只有这样，才能不断加速自己的专业化进程。

　　（本文根据教育部《中西部地区农村义务教育学校教师国家级远程培训-数学》项目第3讲实录修改而成。）

　　注释：

　　① 《爱因斯坦文集》第一卷〔M〕，许良英、范岱年编译，北京：商务印书馆，1976年版，第574页。

　　（原载《人民教育》2008年第21期）