本期话题：你会读你自己的课堂吗？（续）

　  留心读自己的课堂，这是一种重要的反思意识。看似平庸的日常课堂将因此变成富矿。

寻找均衡的数学化

——评《ａ能表示什么》一课的得与失

　  数学的产生与发展有两种不竭的动力。一是解决现实问题的需要，由此生成的是数学与现实生活的联系；二是数学理论本身发展的需要，由此生成的是抽象的数学知识之间的联系。按照荷兰数学教育家弗赖登塔尔对数学化的分类※，也可以这样理解：与前者对应的数学活动，是生活与数学的联系过程，就是横向的数学化；与后者对应的，即抽象的数学知识之间的归纳、概括、推理、论证、推广、引申等，则是纵向的数学化。

　  横向数学化与纵向数学化作为两种数学活动，对于数学教育来说也具有同等的地位。如果运用这种理论框架来考察“ａ能表示什么”这节课，我们也许更容易发现课堂事件或情节的教育价值，更容易察觉到它的得失，找到改进教学的有效策略。

　  一

　  下面，先来分析这节课的学习任务：

　  1． 摆一个正方形需要几根火柴棒？

　  2． 按如图（图略）的方式，摆2个正方形需要多少根火柴棒，摆3个正方形需要多少根火柴棒。

　  3． 摆10个这样的正方形，需要多少根火柴棒？

　  4． 摆100个这样的正方形，需要多少根火柴棒？

　  5． 如果用ａ表示所摆正方形的个数，那么摆ａ个这样的正方形需要多少根火柴棒？

　  这是来自现实的任务，首先要求进行横向数学化，例如，在讨论问题2或3时，需要通过横向数学化找出问题的结构，从而列出相应的算式。对这些任务中具有相似性的一类问题进行归纳，如发现问题2与问题3一些算法之间存在同构性，则是纵向数学化的问题了。

　  我们看到，学生是通过横向数学化解决问题3的，先后列出如下四个算式：

　  ① 4＋3×9

　  ② 4×10－9

　  ③ 3×10＋1

　  ④ 4＋33

　  对上述每一个算式，学生都能结合具体的问题情境说明列式的理由。其中，算式④的分析思路很独特，它是“把后面的9个正方形（除第1个正方形外）3个3个分为3组”，从而得出4＋3×3×3，这是横向数学化的结果；进而把这个算式写成4＋33，这是纵向数学化的结果。这两种结果虽然等值，但意义却不同。在下文中我们将会看到忽视了这两者意义上的变化所产生的后果。

　  有了解决问题3的经验基础，学生解决问题4的思路更为丰富。如果从问题的本身出发，找出它的结构并列出算式，还是横向的思路；如果意识到问题4与问题3的相似性，用类推的方法列出算式，则是纵向的思路。事实上，学生讨论问题4时出现了横向与纵向思路交替的情况。从学生阐述的理由来看，以下三种算式都是通过横向数学化获得的，而且是正确的：

　  ① 4＋3×99

　  ② 4×100－99

　  ③ 3×100＋1

　  但需要认真反思的是，学生为什么出现了如下错误？

　  ④ 330＋4

　  ⑤ 333＋4

　  课上，许老师对学生的错误采取了延迟评价的策略是正确的。一位学生终于发现：“因为34已经是81了，所以333+4与330+4肯定都不对。”由此本来可以进一步引导学生发现正确答案的必要条件，即估计摆100个正方形最多需要多少根火柴棒。这里，“估计”要回到现实的问题情境中去（最多需要400根火柴棒），然后运用估计的结果（不能超过400）来审视所列算式的合理性，从而排除错误的算式。可惜这节课没有抓住这个机会。

　  要找出错误的原因，则必须具体分析：错误是出在横向数学化还是纵向数学化过程，抑或是发生在横向与纵向的交替之处？这样才能够对症下药，帮助学生认识错误。

　  对“330+4”的列式，学生的解释是：要摆的正方形的个数“100是10的10倍”，所以摆100个正方形所需火柴棒的根数应该是摆10个正方形所需根数的10倍。其实，摆正方形的个数与所需火柴棒的根数之间不成正比例关系，但他却认为是成正比，这是横向数学化出了错；他还认为330＋4就是10×（33＋4），把不等值的两个算式视为相等，是纵向数学化出了错。教师应及时向学生澄清这些错误的原因。

　  学生列出“333＋4”，又是什么原因呢？可能是问题3算式④横向思路的影响。他想：把后面的99个正方形也3个3个地分组，可以分成33组。根据这种分析，正确的列式应当是32×33＋4。可是他却得出“333＋4”。这个错误并非粗心所致，是他仅仅从形式上对“4＋33”进行推广造成的，根源出在不自觉地进行横向与纵向数学化的交替思考时，理解算式4＋33中指数3的意义出现了偏差。

　  回到问题3的情境，从横向数学化得到的算式④，本来应该是4＋3×3×3，其中4表示第一个正方形需要4根火柴棒，3个“3”各表示不同的实际意义：第一个“3”表示摆出“后面”的每个正方形都需要3根火柴棒，第二个“3”表示把“后面”的正方形每3个分成一组，第三个“3”表示“后面”的正方形这么分可以分成3组。一旦把4＋3×3×3写成4＋33后，其中的指数“3”除了表示“3”个相同的底数3相乘外，再没有其他的实际意义了。学生错误地认为，它是表示“后面”的正方形被分成了3组的“3”，因此，“后面”的正方形被分成33组时，答案就写成了333＋4。对此，应当记取一个教训：在先前（问题3）横向数学化的过程中，学生对各个量的实际意义的理解和老师是否强化对之正确地施以符号化（建立数学模型）是非常重要的，可以减少或避免学习负迁移事件的发生。

　  课上，许老师没有及时察觉到学生这个错误的根源。在纠正错误时，她对学生说：“刚才在4+3×9中，9可以写成32，所以4+3×9可以写成4+33；对于3×99+4，99可以写成什么？”然而，学生的错误是发生在横向与纵向数学化交替的环节上，如果仅作纵向数学化的剖析，而没有揭示因上述交替导致算式的意义发生变化，那么还不能击中要害，纠正学生的错误理解。由此可见，从横向或纵向数学化的特征去审视学生的思维过程，深究错误的症结，是很重要的。