二

　  问题3与问题4在算法上的同构性，是这节课纵向数学化的一个重要成分；引导学生发现这种同构性，并加以形式化，是这节课在发展进程中承上启下的一个重要环节。因此，可以引导学生比较4＋3×9与4＋3×99，归纳得出：4＋3×（正方形的个数－1）；比较4×10－9与4×100－99，归纳得出：4×正方形个数－（正方形个数－1），等等。如此对算式结构的形式揭示，无疑为解决问题5的字母代数作了坚实的铺垫；用字母代数也是纵向的数学化。可惜，这节课没有把握住这一条纵向数学化的发展脉络。

　  可以看出，许老师也力图启发学生体会这种同构性，办法是通过解决或思考更多的特例，如，摆150个、250个、1万个这样的正方形，需要多少根火柴棒？方法一样吗？但这种努力的效果不见得好。主要表现在后来讨论问题5时，只有一个学生表现出纵向数学化的思路：“4ａ－（ａ－1），与上面的4×150－149一样，因为ａ可以代表150，ａ－1代表149，所以我认为是这样。”而多数还是横向的思路。如，“3a+4，除了第一个外，后面的都用了3根火柴棒。”“可以看作是竖的有（ａ＋1）根，横的有2ａ根，所以理解为2ａ＋ａ＋1”等。

　  对于问题5，学生的横向思路也出现了不少错误答案。如，xａ＋1（x表示摆一个正方形所需的火柴根数），4a-x，4＋ａａ，3ａ＋4，4（ａ÷2）＋ａ（ａ÷2）等。在没有弄清学生的具体想法以前，要当堂找出这些错误产生的原因是困难的，但必须让他们知道，这些答案为什么是错误的，以便课后进行反思。这里，查错的前提也是要找到正确答案的必要条件，如“摆第1个正方形需要4根火柴棒”这个事实就是一个现成的条件。只要把1代入相应解答式（代数式）中的字母ａ求值，如果这个式子的值不等于4，就可以判断它是错的。本来，以判断错误答案为契机，展开纵向数学化的活动，有助于学生体会字母代数或求代数式的值的意义与应用。可惜这节课没有这样的设计与处理。尽管口头上学生会说“ａ可以代表正方形的个数”、“正方形的个数只能是自然数”，但也许并没有真正理解它在行动上、应用上意味着什么。

　  对字母ａ表示“正方形的个数”的理解，也有纵向与横向两个维度。纵向的理解——ａ是可变的，它可以表示自然数列中的任何一个自然数；横向的理解——在思考与解决现实问题时，ａ可以作为一个不变的、确定的自然数来看待。从教学过程看，学生横向数学化的能力要比纵向数学化的能力强。

　  《数学课程标准（实验稿）》特别强调：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。”值得注意的是，“抽象出数学模型”并非是横向数学化活动的专利。如上所述，问题3由横向数学化得到4＋3×3×3，而4＋33却是纵向数学化的产物；问题5中，4＋3（ａ－1）既可以是横向数学化的产物，也可以是纵向数学化的成果。事实上，解决任何实际问题的过程，都包含横向与纵向的数学化。如问题3，抽象出4＋3×9是横向数学化的过程；运用乘法与加法算出它等于31，是纵向数学化的过程；再回到现实问题的情境，去体验和解释这个计算结果（数学的解“31”）的实际意义时，又是横向数学化的过程。