（2）分析信息之间的关系，并用数学语言表述数量关系——其一，每个大圈的人数÷小圈的个数=每个小圈的人数；其二，参加的总人数÷小圈的总个数=每个小圈的人数。这实际上揭示了两种解决问题的思路。

　　（3）选择解决问题的思路，并思考：根据所选择的解题思路，应该先算什么，再算什么。

　　（4）列式解答并反思答案的合理性和问题的解决过程。

　　以上过程并非多余，它能促进学生在解决问题的过程中思维更有条理，是“问题情境——建立模型——解释应用”过程的具体化，如果通过不断的领悟而使学生内化为自己的一种思维习惯，将有助于学生面对更复杂的问题时拥有正确的思维过程。

　　2． 引导学生把握问题的关键和思路指向。

　　一个完整的、结构良好的问题情境，应该具有相关的数学信息和由此提出的数学问题，并且这些数学信息之间存在着内在的、本质的联系，由此可以生成新的问题或结论。显然，当呈现的是一个较复杂的数学问题时，现有信息的结论指向与问题所需的信息之间存在着思维的障碍，两者不能直接连接，要将两者顺利对接，可能需要一个过渡性的问题或结论（中间问题），这便是解决问题的关键。无论是传统的应用题教学，还是现在的解决问题教学，这种思维的关键都是客观存在的，只有清楚地把握并有效地突破思维过程中的关键点，思路才会畅通，问题才能得以顺利解决。

　　某教师对教材（人教版三年级下册）例题做了改编：

　　兰兰和她的小伙伴到少儿图书馆参加实践活动，他们碰到了下面的问题：要把400本新书放到书架上，平均一格要放多少本呢？（图示两个书架，每个有4格）

　　教师在教学中，首先让学生独立思考、尝试解决，然后进行算式展示和想法交流，最后在此基础上讨论、总结解决本问题的思路与关键，并用课件直观演示：

　　这样的梳理是必要的，学生能较好地把握问题的关键，了解不同的思路及相应的思考方向，从而确定正确的解题计划。

　　三、学会表征，掌握解决问题的思维方法。

　　问题表征，即将数学信息从纷繁的情境中提取出来，根据信息之间的内在联系，用数学化的语言与方式揭示信息之间的关系与结构，从而找到解决问题的思路与突破口。它是用可操作的方法将G?波利亚关于解题过程中的“转换”环节加以具体化。

　　1． 结合问题情境，有意义地表征数量关系。

　　从三年级开始，小学数学解决问题从以一步计算为主转入以两步计算为主，即开始两重数量关系的复合，因而解决问题的思路也变得丰富起来。到了四年级，类似于“速度×时间=路程”这样一般化的数量关系正式成为学习内容，而到五年级学习用方程解决问题时，“相等关系”（数量关系的发展）已成为列方程不可逾越的前提。因此，在这一阶段，应结合具体的问题情境，引导学生表述并揭示其中的数量关系，理解每一种算法的思路与信息结构，这样不仅有利于很好地解决当前的数学问题，而且也能促进学生的后续学习。

　　鸡兔同笼问题（即笼内鸡兔若干，已知有8个头，26只脚，问鸡兔各几只），学生并非完全陌生，很多学生会用“假设法”来解决，但不一定知道“为什么可以用假设法解决”，“用了假设思想以后数量关系发生了怎样的变化”……因此，对于这样的问题，教学时就更应关注数量关系的揭示和算法思路的梳理。以下是一位老师的教学过程简录：

　　1． 揭示问题情境，理解信息：你们能解决这个问题吗？

　　2． 学生尝试解决问题。

　　3． 汇报交流。

　　（1）展示解决问题的方法。

　　方法一：假设全部都是兔，4×8-26=6（只）；鸡有6÷（4-2）=3（只）；兔有8-3=5（只）。

　　方法二：设兔有x只，得4x+（8-x）×2＝26，x=5，鸡有8-5=3（只）。

　　方法三：列表。

　　方法四：画图。

　　所以兔有5只，鸡有3只。

　　（2）讨论每种方法的思路和数量关系，理解算式的意义。

　　4． 观察交流：想一想，如果请你分类，你觉得这些方法可以分成几类？

　　（1）学生汇报并阐述理由：

　　生1：可以分成四类：假设法、方程法、表格法、画图法。

　　生2：我觉得前面两种方法是一类，它们都是假设的，第三种方法一类，第四种方法一类。

　　生3：我觉得好像可以把第一、第三、第四种方法分成一类，它们都有假设的意思，第二种方法是方程方法。

　　……

　　（2）教师引导学生对第三位学生的意见展开讨论，逐步明确：第一、三、四3种方法本质上都是假设，只是第一种假设的全部都是鸡或兔，而另外两种实际上假设部分是鸡或兔，所以要逐步调整，直到找到答案。

　　5． 思考：假设的目的是什么？

　　通过讨论，明确假设的目的是为了与实际的信息产生矛盾，即与总脚数之间产生一个差，然后抓住这个矛盾解决问题。

　　以上教学已不仅仅停留在解决单个问题上，更关注方法和思路的梳理，关注数量关系的提炼与清晰的表征，促使学生整体、灵活地掌握解决问题的方法，提高了应用能力。

　　当然，数量关系表征的方式可以是多样的，让学生自主表征与交流，同样值得提倡。

　　另外，数学问题丰富多样，变化纷繁，但是解决问题的思路却是有章可循的，这就需要在表征数量关系时类化解决问题的思路。一直以来，几何直观作为揭示与分析数量关系的有效手段而在解决问题的教学中被我们所重视，同样在促进思路的类化中也具有不可替代的作用，将暗箱中的思维赋予形象化的载体，可以做到既有直观性，又不失数学性，提升学生的学习水平和问题类化的能力。

　　2． 关注思维方法，提高解决问题的有效性。

　　学生要从当前的问题状态达到需要的目标状态，必须对数学信息和问题之间直接或间接的联系进行思考与分析，在这个过程中，综合思维和分析思维这两种思维方法起到了重要的作用。

　　简单地说，综合思维是从问题情境中的数学信息出发，分析它们之间的关系，思考可以得出的可能结果；而分析思维则是从问题出发，思考解决该问题所必需的信息是什么，从而有目标地从问题情境中寻找相关的数学信息。应该说，这两种思维方法在解决问题的过程中具有同等重要的地位，它们都是对事物之间本质联系的把握。事实上，在解决问题的过程中，两种思维方法常常是结合起来运用的。综观现行小学数学实验教材，直接提供问题情境（主题图或情境图），让学生观察以后提出问题、再解决问题的设计可谓比比皆是，这样的方式，使学生的综合思维能力得到了发展。反过来，要求学生从问题出发，思考解决该问题所必需的数学信息的设计却十分稀少，这不能不说是一种遗憾。故笔者认为，教师在教学中应关注并补充类似的教学设计，发展学生的分析思维。例如：

　　学校运动会上要给每位同学发一瓶饮料，根据现有的信息，请你提出一个需要两步计算解决的数学问题，你觉得信息够吗？如果要请你解决“三、四年级每人1瓶，一共要花多少元”这个问题，需要补充什么信息？

　　小学数学课，具有公共基础的性质，因此，它不仅仅追求某些方面的精深，更应关注思维方式、方法各方面的均衡与和谐发展，从这个角度讲，综合思维与分析思维两者不应偏废。

　　“数学问题的重要性主要的不仅仅在于其直接的应用，而是其数学思维训练的价值和潜在的对发展智力的影响。”（任樟辉，《数学思维论》）我们之所以认为，解决问题作为提高学生综合应用数学知识、发展思维的有效载体，应该结合教学内容对学生的数学思维过程和思维方法作必要的训练与梳理，使学生积累必要的解决问题的经验，提高数学能力，皆是出于这一认识。

　　（平国强 作者单位系浙江省杭州市教研室）

　　（原载《人民教育》2008年第12期）