关于数学教育若干重要问题的探讨

——对话特级教师王凌的读书笔记

　　对话者：王 凌 余慧娟（本刊记者）

　　王凌，1970年5月生，数学特级教师，江苏省南京市建邺区教师进修学校教研员。喜欢在工作中寻求乐趣，坚信“教学为教育服务”的观点，认为人文素养能丰富教师认识世界的视角，使教师“跳出数学看数学”，实现从“数学教学”到“数学教育”的视角的变换。希望教育能让所有人健康、快乐、有社会责任感。

　　【按】前一段时间，我在网上神游，忽然发现许多数学教育网站、数学教师的博客上都流传着“王凌的35条精彩语录”，而且点击率很高。如今能成为“语录”的东西该是稀罕物了。打开仔细一看，真是“精彩”！浓缩了不少数学教育的思想精华。能写如此“精彩语录”的人，甭管“语录”从何而来，都代表了一种学养，一种品位。我决定见识见识这位隐藏着的智者，就其中的某些“语录”向王老师发问。经过两轮挑战和对话，形成了如下的文字，也拿来与更多的读者分享——数学教师该读什么书，数学教育的精髓是什么，数学理论该如何用实践来解读——这一系列困扰每一个教师的问题的答案。

　　余：王老师，您好！对网上广为流传的您的35条“语录”十分感兴趣，不知道您是怎么想到写这些“语录”的？

　　王：2000年年末，我与夏青峰老师（特级教师）一同参加首届江苏省骨干教师培训，期间他问了我一个问题：“什么是数学？”对于一个当时已经工作12年，但又从未思考过类似哲学问题的教师来说，这个问题如同点燃教育智慧的火星，启动了我对教学理念从不自觉到自觉的思考，从而踏上对数学教育的求索之路。在求索过程中，一系列相关书籍给我提供了丰富的营养，在我脑海中不断地产生着新的教学追求。为了让广大的同行也能分享我的阅读快乐，我在小学数学教学网上发了名为《我的读书笔记》的帖子，告知网友将摘录所读书籍中的精彩观点以供分享。初期局限于摘录教育名家（郑毓信、顾泠沅、李士锜等）的观点，后来也少量加入了我对数学教育的某些思考。网友出自对该帖子的喜爱，从中选了一些编辑为“王凌的35条精彩语录”（事实上，多数为郑毓信教授的观点），并在网上广为流传。这样的传播对普及数学教育理论是有益处的，我所做的摘录相当于为教育书籍定做的文化快餐。

　　余：即使是摘录，也很能见水平。因为读书笔记记录的往往是自己内心深处隐藏着的想法或感受。我想，您作为做笔记的人，一定对这些“教育信条”有着自己的理解和认识。我们不妨来聊一聊其中的一些“语录”，如何？

　　王：好的。愿意将自己浅薄的理解拿出来求教于大家。

　　联系实际的教学存在怎样的问题？

　　笔记一：生活中的实际问题在课堂中可能会产生认知变异。这并非是教师的教学有不恰当的地方，这表明教学活动中的环境相关性，特别是我们不能期待单纯依靠在教学中引入更多的应用题就可有效地解决数学教学严重脱离实际的老问题，因为同样的问题在不同的环境中完全可能具有不同的意义。①

　　余：画线部分该如何理解？

　　王：虽然“加强数学与生活的联系”已成为众多教师的共识，但是必须考虑“教学活动中的环境相关性”。也就是说，同一个问题在生活环境中与在学校环境中，由于“意义”发生变化，解决问题的方式也会出现不同。例如3小时行25千米，平均每小时行多少千米？如果在生活中你会意识到这是一个只需估算的问题（大约8千米多一点）。但是同样的问题，在课堂中却有不同的“意义”：如果是估算教学，你可以得出同样的结论；如果是关于循环小数的教学，那么你就需要借助笔算算出一个循环小数，并且保留几位小数还要再看题目的要求；如果是学习分数与除法的关系呢，那你就必须用分数来表示结果了。

　　余：那么数学教学脱离实际的原因是联系实际的教学太少了，还是联系实际的教学存在问题？

　　王：是我们联系实际的教学存在问题。

　　首先是许多教师并没有意识到上述问题，在教学中人为地设定了某些“标准答案”，导致课堂中的答案与实际生活的答案不一致，这样的“双重标准”人为地设置了课堂问题与实际问题的沟壑。例如，“每千克梨的售价是2.8元，买1.38千克梨实际应付（ ）元”，其计算结果是3.864，有教师规定答案为3.9元，要求用“四舍五入法”取近似值保留到“角”；实际生活中往往使用“去尾法”取近似值，只要付3.8元就够了。因此课堂问题与生活实际并不是完全一致的，解决问题的方式自然也是有差别的。但不必在这种无关紧要的细节上过多纠缠。就上例来说，如果学生能正确计算小数乘法的积，就达到了基本教学要求，他用怎样的方法取近似值只要有道理就行，即使需要统一也应当在承认学生想法的基础上加以引导，容易混淆的地方在考试时也应明确要求。

　　其次，并非所有的数学知识都在儿童的现实生活中具有实例，因此在引进生活中的实际问题时要关注该问题是否具有“真实意义”，即能被儿童所认可，否则就会被认为是人为臆造的。例如，“一张方凳的面是由边长0.32米的正方形木板做成的，凳面的面积是多少平方米”，在实际生活中，首先我们不会选择“米”作为凳面边长的度量单位，其次往往会估计面积为9平方分米，而不是精确计算。这种人为臆造的应用题会让学生产生“不信任感”，即生活中不会出现这种问题，它只出现在数学课堂。长此以往的一个后果是，学生视课堂与实际生活为完全独立的两个情境，在课堂上学到的解决问题的方式不能用于解决实际问题。这种隔膜阻碍了学生灵活应用能力的发展。所以引进这样的应用题只会与我们的初衷相背离。

　　最后，我们还需要强化课堂问题与实际生活中的问题的联系。以近似与精确为例，在美国Houghton Mifflin公司出版的四年级数学书中，就用问题引导学生思考什么时候可以用近似数，什么时候用精确数。

　　问题1：阿姨准备接你和你的朋友去游玩，为了接你的朋友，她需要你朋友的地址，你认为提供一个近似数行吗？

　　问题2：你和三个朋友约好上午10∶45在入口处会面，你认为将时间近似到11∶00到达好吗？

　　问题3：你想买3个0.5美元的游戏币，还想买2.95美元的三明治，你有5美元，你需要求出精确值才能判断你的钱够不够吗？

　　问题4：只用四舍五入的数，为一个真正的或假设的活动设计一张海报，让你的朋友识别出那些不能提供足够信息的四舍五入的数。

　　问题5：近似数什么时候能提供足够的信息？什么时候需要精确值？你能举例说明吗？

　　问题4和问题5告诉我们，必须正视“教学活动中的环境相关性”。事实上我们的应用题虽然取材于生活，但是在编题的过程中，舍弃了众多生活信息，只保留了数学信息，并且开放度不够，本身也很难做到“真正联系实际”，但是我们可以通过小课题作业、综合实践活动来感受数学在生活中的应用，通过比较数学问题在学校与生活中解决方式的异同来抓住数学与生活的联系。例如，A种面巾纸5包卖8元，B种面巾纸6包卖9元，你会买哪种面巾纸？从生活角度看，对品牌的喜好、对价格的考虑、包装的认同等诸多因素都会成为购买的理由，从数学的角度看，价格比较就成为标准。通过比较学生就会发现“对价格的考虑”是数学与生活共同关注的因素。我们还可以在承认学生答案合理性的基础上，增加某些数学问题答案的开放度，以使数学课堂和现实生活尽量建立联系。

　　余：这个问题其实正说明“联系生活实际”的教学远没有收到预期效果。很多人以为这一目标很容易达到，这是一种简单化的理解。这里的一个重要目标是培养学生灵活解决问题的能力——一种较高层次的能力，只有在变化的、复杂的情境里才可能得到发展，因为这关系到对具体情境的分析和对解决问题方式的选择。纯数学层面的计算、求解，从某种程度上来说，更为简单。由此，我们应该对“联系实际的根本目的是什么”、“如何联系实际”重新思考。

　　为什么要超越纯经验层面的教学？

　　笔记二：首先我们应当特别关注学生数学学习过程中思维活动的研究，从根本上说，一切的数学教学活动最终都应落实到学生的数学学习，从而只有对学生在学习过程中的思维活动具有较为深入的了解，数学教学工作才有可能超越纯粹经验总结的水平而上升为理论指导下的自觉实践。②

　　余：超越纯粹经验的教学与理论指导下的教学到底会存在怎样的不同？

　　王：实事求是地说，众多的一线教师是排斥理论的，其中很重要的原因是很少有理论研究工作者走下高高的神坛，扎根一线，让教师看到在理论指导下的教学实践与完全凭借经验的教学实践究竟存在怎样的区别。

　　余：的确如此。

　　王：因此新老教师的一个重大区别便是“教学经验”的多寡。老教师知道什么教学内容学生的学习难度大，知道如何通过反复的练习帮助学生达到学习要求以应对考试。这种“经验”，事实上正是对学生在学习过程中的思维活动的一种朴素了解。如何超越这种经验，离开数学教育理论的指导是难以想象的。