余：那么“朴素了解”和理论指导下的了解存在怎样的区别？

　　王：以二年级（下）《隔位退位减法》为例，老教师知道这是教学难点，知道学生会忘记“0上打点想成9”，经验带给老教师的是问题的表面现象，但是并不了解这种现象的深层原因是由于在计算过程中注意力的转移与分配发生变化，在此过程中，短期记忆的小容量和短时间特征使得学生的认知系统很难达成协调状态，因此屡屡出现303-157=156，303-157=254等错误。很多教师教学时仅通过静态的教学挂图（甚至不用教学挂图）来教学竖式计算，反复强调“个位3减7不够，向十位借1，十位是0，所以向百位借1，……”，然后结合竖式的计算过程反复让学生说理，他们注重放慢节奏，运用“刺激—反应”的行为主义教学方式“稳扎稳打”，学生依赖于强记也能使计算正确率比较高，但是对算理的理解只能是“小和尚念经，有口无心”的状态。

　　还有一些教师贸然举着“自主探究”的大旗请学生自主计算，探究算法，效果不佳。其中的原因就是没有了解并理解学生在该学习内容上的思维情况，导致教学方式选择上的盲目。我请过六位学生（一位优等生，四位中等生，一位学困生）自行解答303-157，每个学生都很有信心地表示会计算。他们的答案各种各样，却又能自圆其说。例如有的计算结果是56，他的解释是：“个位3减7不够减，向十位借，而十位上是0，因此就向百位借，13-7=6，十位上0-5不够，也向百位借，10-5=5，百位借走2，还剩1，1-1=0，结果是56。”从课前的学情调查情况看，如果想让学生自主探究隔位退位减法的计算方法，是超出学生的最近发展区的。受到信息加工理论和有意义接受学习理论的启发，在教学中重点针对学生的短期记忆容量小、时间短的情况，帮助学生内化、压缩，组建“0上有点想作9”的记忆模块，达成对算理的理解和计算技能的形成。（有兴趣的老师可参阅《江苏教育》2007年第9期B刊葛小仙：《层层操作递进 步步明晰算理》）所以我以为，优秀教师公开课当中的精彩生成绝大多数源自他们对学生学情（尤其是学生的思维活动规律）的准确把握。这也正是为什么我们需要从“经验型教师”向“研究型教师”转变。

　　余：所以说数学教育学首先是一门认知科学。我们必须对类似这样的基础理论给予足够的重视。

　　“化归”作为教师的一种特殊才能

　　笔记三：教师的工作具有一种化归的性质，即应使对学生来说原先是困难的、抽象的、复杂的东西转化成较为容易的、具体的、简单的东西。

　　余：说得很精辟，化归是数学教师的一项重要工作，尤其是小学教师的一种特殊才能。能否举例说明教师该如何“化归”？

　　王：比如，分数应用题长期以来一直是难教难学的内容，到目前为止仍然如此。尽管教材降低了学习难度，但是从一线教学的实际情况看，情况仍不容乐观。原因就在于教师将分数应用题人为地另起炉灶，“单位‘1’、对应量、分率”等专用“术语”让学生晕头转向。事实上分数应用题就是将倍数关系以分数形式呈现的倍数问题，其数量关系、分析方法与过去所学的倍数问题完全一样，打通这两类问题的联系，完全可以收到事半功倍的效果。有一次，朋友的女儿向我抱怨：“不懂老师讲的分率是什么意思。”我请她做三道题：

　　1． 男生有20人，女生人数是男生的2倍，女生有多少人？

　　解答后请她指出一倍数、倍数等基本概念与数量关系。

　　2． 男生有20人，女生人数是男生的1.5倍，女生有多少人？

　　比较前两题，只存在倍数由整数变为小数这种外在变化。

　　3． 请她将第二题中的1.5改成分数。

　　将一倍数与单位“1”、倍数与分率进行比较，建立联系，她立即就明白了分率和倍数只是意义相同的两种不同说法而已。

　　所以要想实现这种化归，需要在对教学要求把握准确的前提下精心组织教学材料、选择教学方法，而要做到这两点，必须对学生的学情有准确的了解。这也再次说明，有效教学是教材、学情、教法的三维统一。

　　余：也许正因为如此，教学才成为一门艺术。我常觉得，教师之所以伟大，一方面是因其人格魅力和学识水平；另一方面，就是因为这种与“学生”——这个未成年群体巧妙地展开思想对话的能力。希望更多的教师具备并不断提升这种能力。

　　如何使“教学方式多样化”成为教师的自觉行为？

　　笔记四：在课程改革中，我们要防止一种片面性的认识以及简单化的做法，特别的，我们不应该对各种教学方法作出正确（先进）与错误（落后）的绝对区分，要提倡教学方法的多样性，不能通过行政手段强制地去实现教学方法的改革，这应当成为教师一种自觉的行为。③

　　余：可如何才能使教学方法多样化成为教师的自觉行为呢？

　　王：在课程改革初期，所听的公开课必定是采用小组合作学习方式的，似乎不如此便难以体现课改精神。这显然是荒谬的。学习方法的选择需要辩证地考虑学习内容与班级学习风格之间的一致性，当然班级学习风格是需要考虑教师因素的。教学方法的改革是需要以教学理念的变革为前提的，其中对数学教育功能的认识、教师的教学观、学生观是核心。但是我们又不能期待教学理念的变化就一定会带来教学行为的正效应，毕竟将好的想法变成现实和想一个好想法是两回事。要使教学方法的多样化成为教师的一种自觉行为，需要教师本身素质特别是对教学问题进行反思和研究的能力的提高。

　　这其中，最重要的是加深教师对学科知识的理解。曾有一段时间，大家对学习方式关注过热，而忘记了“内容决定形式”这一基本法则，学科知识反倒被放在次要位置。事实上，正如巩子坤与宋乃庆所认为的：掌握牢固的基础知识不一定就能成为一名好教师，但是，不掌握牢固的基础知识则肯定成不了一名好教师。数学教学的问题“并不在于教学的最好的方式是什么，而在于数学是什么……如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议”。

　　其次，让教师全面了解各种教学方法的特点，还是极有必要。教研员在听课过程中经常会发现教师对教材理解不到位、对学情把握不准确、教学方式方法选择不合理等问题。可在教师的提问中，针对教材、教法的问题不足5％，其实教师是知道自己在这些方面不尽如人意的，但他们“我想不出如何处理”，因此宁愿用补课的方式来提高学生的学习成绩，尽管这种方式对学生来说可能是不利的，但是他们认为可以用“体力”来弥补“脑力的不足”。而这恰恰是优秀教师与一般教师的最大差异。优秀教师往往迎难而上，发现问题后集中精力解决问题。

　　教师为什么愿意用“体力”来弥补“脑力的不足”，而不是通过“研究”来解决呢？原因有三：一，想研究，但不知道如何研究——缺少研究的方法；二，认为自己研究不出什么——缺少研究的信心；三，不想研究，我就这样教——缺少研究的动力。相对而言，前两种原因占多数，所以，我以为教师缺少的是来自外部的（包括精神的、物质的、方法的）支持，特别是来自精神的支持。其次必须有方法上的支持，要具有可操作性，而不是笼统的、模糊的、不着边际的，既要告诉教师下面应该做什么，同时又要说明这样做的原因，否则教师的研究难以为继，解决教学方法上的问题也就遥遥无期了。当然，同时还要进行数学教育理念的培训，这里不多说了。

　　我想教师在具有了深厚的学科功底、对教学方法和学生的透彻了解，对数学、数学教育有了自己的哲学认识，自觉地实现教学方法的多样化将会成为现实。因为这是一种综合素养和能力的体现。

　　关注学生的什么呢？

　　笔记五：学生为什么会发生学习问题，主要原因并不在于他们没有记住定义和公式，而是由于他们的建构活动发生了一些偏差，这涉及他们已有的知识基础、目前组织知识的方式等，要分析他们的错误，就必须深入他们的建构过程中去探察。

　　余：如何能洞察出学生组织知识的方式从而找到教学不成功的原因？

　　王：成年人在长期的学习过程中，由于自动化机制的作用，往往已经淡忘了学习初期的思维活动，因为我们看到9+5就会想到14，这被看作是天经地义的事。但是被成年人认为是天经地义的事情，在儿童眼中，可能就是与成年人的理解完全不同的世界。例如，有13朵红花，8朵蓝花，红花比蓝花多多少朵？蓝花比红花少多少朵呢？在我们眼中，红花比蓝花多5朵，那么很自然地，蓝花比红花少5朵，这是无需思考的。而实际情况是，“蓝花比红花少的朵数”这个问题对幼儿园大班下学期的儿童和很多一年级学生来说，都是一个不小的挑战。在听课过程中，教师在黑板上贴了13朵红花，在第二行与红花一一对应地贴了8朵蓝花。在请学生上台指出红花比蓝花多的部分时，学生只看了看，就顺利地指出了多出的部分，并回答“红花比蓝花多5朵”。但是教师再请他指出蓝花比红花少的部分时，他很认真地看了一会儿，告诉老师：“蓝花比红花少，但是没有蓝花比红花少的。”因为在图中，多出的部分是可视的，对学生来说是真实存在的，而少的部分则是一种虚拟存在，低年级儿童以直观形象思维为主，自然会产生这样的建构偏差。我们建议教师在教学这一内容时，可以请学生思考：“蓝花再添几朵就和红花一样多？”并用虚线补画出5朵蓝花，进而告知“蓝花添5朵才和红花一样多，就表示蓝花比红花少5朵”，再比较“红花比蓝花多的”和“蓝花比红花少的”两者的关系。

　　从这个角度看，了解学生（尤其是组织知识的方式）仍是非常值得教师关注的。怎么能了解到？我们可以加强学前的学情调查和学后的错例分析，包括：（1）对教学内容的了解程度及情感状态。例如，你听说过小数与小数相乘吗？你认为它有用吗？你能否找到在生活中应用小数乘小数的例子呢？（2）解决问题的能力。例如，你会计算1.6×1.4吗？如果学生能计算，重点询问他是如何确定积中的小数点的位置；如果学生算错了或不会算，通过观察、询问来了解他的想法。（3）对于教学后普遍出现的错误应当及时分析原因。

　　了解学生的过程应当是教师的一种经验性活动（当然也需要教师有一定的认知理论基础，否则很难正确理解学生思维活动的实际表现），亲力亲为调查的效果比依赖阅读材料来了解学生要好得多。这为教师合理设计教学过程提供了最重要的依据。学生在教学前出现的问题往往集中在不恰当的迁移，例如，学生计算1.6×1.4，往往会将积中的小数点与因数中的小数点对齐，就是受到小数加法的影响，教师就有必要在教学时安排估算环节，了解积的大致范围，进而引导学生思考积中小数点的位置。而在教学后出现的问题往往是由于教师不恰当的教学方式造成的。所以深入学生的认知建构过程，了解他们错误产生的原因，正是减少教学失误的一剂良药。

　　笔记六：如何看待练习？练习应当被看作新的认知活动的一个必要条件，因为，从数学认知的角度看，操作构成了自反抽象的直接基础，从而，这种操作缺少了，后面的反省就无法落实④。从教学的实践看，数学学习在很多情况下确实可以被看成一种不自觉的自发行为。但是如果练习没有从根本上解决学生的问题，那么，尽管所说的错误一再得到纠正，我们也可要求学生成百上千次地做同样的练习，这些错误可能仍然会以同样的方式表现出来。因此如何从一种不自觉的学习状态向更为自觉的学习状态转变，就成为搞好数学教学的一个关键问题。

　　余：怎样才能实现从不自觉的学习状态向更为自觉的学习状态转变？

　　王：我认为出路在于学生元认知能力的培养。元认知能力是指在解决问题的过程中的自我监控与调整能力，例如，对解题过程合理性的判断、解决问题时思路的及时调整、对结果的自觉检验、对完整解题过程的回顾等。我们还必须进一步加大教学的开放性，以使学生能有更大的空间来发展自己的思维，培养独立思考的能力。因为一旦在学习中坚持“拿来主义”，习惯于接受学习，培养元认知能力根本就是无稽之谈。需要同步加强的是，我们必须关注学生自我描述其对结果的获取过程，能对结果的合理性作出解释。只有如此，学生才会关注思路是否合理，而不是将数学简单地处理成题目中数据的混合运算。