我曾经教过一个学生，虽然聪明，但是思考问题不求甚解，成绩位于中等水平，接班后要求他在解题后尽可能将解题思路完整地重新描述。由于师生关系融洽，我的建议被他采纳，一年下来，数学成绩提高很多，满分毕业。更值得高兴的是，他有了反思的习惯，能自觉地比较不同问题之间的联系，在解答数学问题时看得准、看得透，能一下抓住问题的本质进行思考，在解决问题的过程中能灵活地选用不同的策略帮助自己寻求突破口。

　　事实上，元认知能力的形成有效地促进了学生对解决问题过程的反思与总结，如此，学生才会真正地在比较中发现问题中的数学结构，达到举一反三的境界，才会在比较中发现错误解答的根源，真正地纠正错误。更进一步，元认知能力的形成可以使学生摆脱就题论题的状态，能够逐步自觉运用数学思想、方法来解决问题。

　　余：说得好！不关注元认知能力，学生学起来就如盲人摸象，难以有整体概念，难以融会贯通。这或许也是许多教师摸不到数学教学门道的重要原因。

　　笔记七：同学们用自己的思考方式来探讨数学问题时，一般来说其方法与标准教科书上典型例题的方法很少有相似之处。正如儿童需要从错误中学习一样，学生学习数学也需要有不断摸索的过程，我们应当为他们提供这样的学习环境，允许他们有反复的余地。从长远来说，真正重要的事情不是记住一些数学技巧——技巧不经常用，很快就会忘记，而是树立一种信心，当他需要某一数学工具时，知道如何去发现并掌握这一工具。树立这种自信心的唯一办法就是在学习过程中贯穿创造、构造、发现数学的那种精神。⑤

　　余：画线部分说得太好了。您在这方面有没有实践？

　　王：分数除以整数是分数除法教学的第一课时。教学前了解学生具备哪些相关的数学知识和能力。在教学设计时，坚持从学生的已有基础出发，提供富有挑战性的、有利于学生进行观察、实验、猜测、推理、归纳的学习内容，教师的主要任务是组织和引导。力求学生能运用化归思想自主推导分数除以整数的计算方法，进一步体会化归思想在数学学习中的重要作用，增强学习数学的信心。

　　教学片段1：明晰化归的基础

　　师：分数除法怎样计算呢？事实上，有一些分数除法同学们会计算。

　　7/8÷1/8 0÷5/9 1÷4/9 3/4÷1

　　师：你是根据什么知识口算这几道题的？

　　（学生的回答有：两个相同的数相除等于1；前提是这两个数不等于0；0除以任何不是0的数都等于0；1除以一个不是0的数，结果是这个数的倒数；任何数除以1等于任何数。）

　　教学片段2：探求计算的方法

　　（教师引导学生思考1/5÷3如何计算）

　　师：在数学学习过程中，我们经常遇到新问题，这时需要考虑如何将新问题转化为已学过的旧知。现在看一看，我们已经掌握了哪些分数除法的知识？

　　（学生的回答有：分数除以整数，用分子除以整数的商作分子，分母不变；1除以一个分数，结果是该分数的倒数；一个分数除以1，结果是原分数。）

　　师：你能将1/5÷3转化成已经掌握的分数除法吗？小组讨论并将讨论结果记录下来。

　　（小组汇报。）

　　生1：1/5 ÷3= 3/15÷3= 1/5

　　生2：1/5÷3=（1/5×5）÷（3×5）=1÷15=1/15

　　生3：1/5÷3=（1/5×1/3）÷（3×1/3）=1/5×1/3÷1=1/15

　　师：请归纳自己小组讨论的分数除以整数的计算方法。

　　生1：先将分子和分母同时扩大相同的倍数，使除数能整除分子，再用前面的方法计算。

　　生2：利用商不变性质，将分数除以整数转化成1除以一个数，再计算。

　　生3：利用商不变性质，将分数除以整数转化成一个分数除以1，再计算。

　　师：观察第三种方法：

　　1/5÷3=（1/5×1/3）÷（3×1/3）=1/5×1/3÷1=1/15

　　这个计算过程还可以更简捷些，你能看出来吗？

　　生：计算过程中的1/5×1/3除以1可以省略，因为任何数除以1结果还是任何数。

　　〔师板书：1/5÷3=（1/5×1/3）÷（3×1/3）=1/5×1/3 =1/15〕

　　师：观察1/5÷3=1/5×1/3，你能说一说吗？

　　生1：我发现分数除以整数，等于分数乘整数的倒数。

　　生2：我觉得他讲得太繁了，我有一个好记的方法只要四个字就够了：化除为乘。

　　生3：我还有补充，我觉得这里的除数必须不等于0，所以应该说分数除以整数（0除外），等于分数乘整数的倒数。

　　教学片段3：计算方法的优化

　　师：刚才小组讨论时，每组用一种方法计算了1/5÷3，现在你能用其他的方法计算一下吗？（学生计算后）你认为哪种方法最好？为什么？

　　生1：我喜欢用分数乘以整数的倒数这种方法，计算起来比较方便。

　　生2：如果分子正好是除数的倍数，我喜欢用分子除以整数的商作分子、分母不变的方法。

　　师：如果请你选择一种方法作为分数除以整数的计算法则向其他班级的同学介绍，你觉得介绍哪一种方法好？为什么？

　　生：我觉得分数乘以整数的倒数这种方法好，不仅计算简便，而且适用于所有的分数除以一个不是0的整数的题目。

　　师：你的意思就是说这种方法在计算分数除以整数时具有普遍性，是吗？对其他的计算方法，你有什么观点要说吗？

　　生：当分子能被整数整除时，可以直接用分子除以整数的商作分子、分母不变的方法计算。

　　如前所述，这一课的重点是引导学生借助化归思想探究分数除以整数的计算方法。但更重要的是为学生创立了一个精彩的例子（相对于整、小数计算而言，分数计算的挑战性更大），树立了一种运用工具的信心，即抓住前后知识之间的联系是可以探究出计算方法的，并且由于探究路径的不同，“创造”出的计算方法也是存在区别的，但却又是能殊途同归的，这实际上是一种信念。

　　我曾对10名工作10年左右的教师做过测试：请写出圆台的体积公式，如果忘记了，能否推导出来？参加测试的教师全都忘了该公式，但只有1人能推导出来，另9人说“想不起来”、“不知道怎么推导”。询问推导出来的教师是如何思考的，他表示很多公式的推导都用到化归思想，那么圆台的体积计算一定与圆锥体积计算有关，顺着思路就做出来了。既然所用的知识教师都有，为什么只有1人能推导出来？就因为他有利用一些思想方法来解决问题的信心，因而会去尝试。所以信心是重要的，同时信心必然是在学习过程中通过贯穿其中的创造性活动得以树立起来并得到鼓励的。

　　余：如此看来，教师很关键的工作还是要搭好这个脚手架，让学生踮踮脚，跳一跳，就能够着离他最近的那个目标。但这个度的把握是很重要的，多走了一步，就会侵占学生的思考、创造空间，剥夺学生的成就感；离得太远了，又容易打击甚至摧毁他们在数学领域自己解决问题的信心。说到底，还是要对儿童的知识基础、经验和思维有着透彻的了解，对数学的本质有着近乎溶于自身血液的亲近感。

　　笔记八：实在说来，没有一个人能教数学，好的教师不是在教数学，而是能激发学生自己去学数学。教育调查提供了令人信服的证据，那就是只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时才能真正学好数学。学生要理解数学，就必须亲自吃透那些渗透于课程中的动词，如：检查、表示、变换、求解、应用、证明、交流。要做到这一点，最好采用分小组学习、开展讨论、互相报告以及由学生自己负责的各种形式。⑥

　　余：这些笔记的确很精辟，但是我觉得您的解读更精彩，从某种角度讲，能用恰到好处的实例来解读理论的人，比只会给出抽象理论的人更伟大，因为这不但表明消化理论的能力，也代表了思考的透彻与思想的成熟。您让我们看到了浓缩的理论后面丰富的实践风景，同时也引发了新的思维风暴。这里面涉及的数学教育难题很多，我们也不可能期待一两次对话就能解决。但我们可以按图索骥，逐渐聚焦思考和研究。希望下次还能继续和您探讨这里面意犹未尽的话题。

　　王：好的，也谢谢《人民教育》给我提供这样展开自己想法的机会。

　　注释：

　　① 该观点来自郑毓信：《数学教育：动态与省思》，上海教育出版社（2005），第53页。

　　② 该观点来自郑毓信：《国际视角下的小学数学教育》，人民教育出版社（2004），第3页。

　　③ 同上，第54页。

　　④ 该观点来自李士锜：《熟能生巧吗》，《数学教育学报》，1996年第3期。

　　⑤ 该观点来自美国国家研究委员会：《人人关心数学教育的未来》，世界图书发行公司（1993）。

　　⑥ 同⑤。

　　（原载《人民教育》2008年第7期）