2． 有意义的接受性学习与研究性学习。

　　在中国数学课堂教学中，教师讲授的时间比较多，学生探究的时间比较少。这无疑应该改进。“实践出真知”，人们在大量地、有意义地接受间接知识的同时，应该通过自己的探索、发现，获得一些直接的知识。在21世纪初，数学教学中把“研究性学习”作为课程进行安排，是教学改革的重要举措。不过，晚近以来，一种极端建构主义观点认为，知识是学生主动建构的，因而是不能灌输的，数学学习主要应该让学生自己去探索，从而否认教师讲授的重要作用。这种看法是不对的。实际上，“教师启发示范、学生理解模仿、课后适当练习”，迄今依然是广泛采用的学习方法。这样做，学生接受正确的指导，可以少走弯路，学习效率比较高；缺点是省略了探索过程，不能达到深度理解，更不利于创新。但是，教育过程毕竟不能等同于认识过程。教育是有计划地将人类几千年积累的知识精华，在9年或12年的基础教育阶段让学生得以基本把握。学习效率是不可避免的要求。所以，在直接经验和间接经验之间，究竟把握一个怎样的“度”，将是一个需要长期探索的课题。

　　3． 数学教学中打好基础与谋求发展的关系。

　　重视数学基础知识和基本技能（简称“双基”）是中国数学教育的优良传统。重视基础是为了发展。没有发展的基础，恰如花岗岩的基础上盖了茅草房，几近浪费孩子的青春。同样，在松散基础上谋求发展好像沙滩上盖大楼，乃是空想。基础教育的首要目标是打好基础，但是又不能为基础而基础。我们追求的目标是：“在打好数学‘双基’的基础上谋求学生的发展。”

　　我国的数学教育工作者，在打好数学基础上有许多好的经验，例如“九九表”的背诵，分数知识的把握，平面几何入门的教学，都是很成功的。徐利治提倡数学思想方法的教学，陈重穆倡导“高效数学教学”，顾泠沅等研究数学问题的变式教学，罗增儒、戴再平研究中国的解题教学，都是成功的案例。2004年，集中全国数学教育工作者的力量，编写了《中国数学双基教学》一书②。其中提到：规则记忆可以通向理解，运算速度能够提高思维效率，逻辑严谨保证思维精确，变式使得重复练习增加效益。这些成果，是我国“熟能生巧”、“愤悱启发”、“业精于勤”等传统教育观念在新时代的发展。最近，我国在修订《数学课程标准》时，又提出“双基”应当发展为四基③，即增加基本数学活动经验和基本数学思想方法，这是一个重要的进展。

　　我们也注意到美国的变化。在号称“数学战争”的一场激烈争论之后，一份由美国总统授命的“数学咨询小组”完成的报告，标题是“为了成功打好基础”（Foundations for Success）。其中特别指出：“学生需要在早期发展有关算术事实的快速回忆，并在中学继续掌握分数的运算。”在这些坚固的基础之上，进一步要求学生为高中或稍早些的严格的代数课程作好准备。

　　总之，今日美国的数学教育，着重强调数学基础，而中国则强调创新发展，双方都是在不同的极端寻求合理的中间地带。

　　4． 形式化与非形式化的处理。

　　20世纪以来，数学教学深受希尔伯特形式主义数学哲学的影响，认为数学是由一组自明的公理，依照严密的逻辑规则推演出来的命题体系。曾经盛行一时的布尔巴基学派，主张数学是由一些结构的叠加和组合所构成。数学无关乎内容，只关注它的形式。于是，形式化演绎成为数学教学的主流诉求。这种观念，也深入中国的数学教学。例如，逻辑思维能力的培养成为整个数学教学的核心，甚至简单地认为，要求数学应用乃是实用主义和短视行为。1990年前后的高考数学试题中，竟然没有一个应用性问题。这种情况在20世纪90年代中期以后，渐渐得到改变。“20世纪下半叶以来，数学最大的发展是应用”，数学已经从幕后走到台前，成为能够直接创造经济效益的数学技术。这些观念的传播，使得形式主义的数学观，不再成为数学教育观的主流。人民教育出版社1992年制定的数学教学大纲中，要求培养学生的运算能力、逻辑思维能力以及空间想象能力；但2000年制定的大纲，则要求“培养运算能力，发展思维能力和空间观念”。这里将“逻辑思维能力”改为“思维能力”，目的是关注非逻辑思维，包括发散思维、归纳思维、开放性思维的诸多方面。

　　在数学教育思想上，陈重穆提出要“淡化形式、注重实质”④。许多论述，反对“去头尾、只烧中段”的做法，主张将数学的学术形态转变为学生容易接受的教育形态，要求将数学教材上所呈现的“冰冷的美丽”转化为“火热的思考”。这些都涉及数学教学的“非形式化”。

　　但是，数学毕竟以形式化为其特点。完全的非形式化是不可取的。适度的非形式化，就是要寻求一个平衡点。

　　5． 生活经验与数学现实的关系。

　　数学教学必须遵循的一个基本原则是理论联系实际。努力联系学生的生活实际，确实可以提高学生的学习兴趣，加深对数学概念的理解，培养解决实际问题的能力。20世纪90年代以来，大学数学教学中发展起来的“数学建模”活动，给基础教育的数学教学提供了十分重要的启示。其实，从小学数学的整数四则运算到算术应用题，都是一种“数学建模”活动。经过10余年的发展，数学建模已经成为我们改革数学教学的一种基本诉求。

　　晚近以来，西方出现了“现实数学（Real Mathematics）”的教学理论，强调密切联系学生的生活实际，认为凡是没有实际背景的数学，学生一定无法理解。我国的许多数学教育论述，也强调实际情景创设，主张密切联系学生生活实际。《数学课程标准》的基本理念之一是“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的”，可以说和上述国际性思潮有密切联系。

　　但是，数学不是以具体物质运动为研究对象的学科。数学的抽象性和形式化特点决定了其与现实生活之间有一定距离。大量研究表明，许多数学内容不能设置现实情景。有些数学是超经验的，例如无理数、质数及无限等观念，不可能借助现实情景加以体察，只能存在于主观能动的想象之中。许多运算规则，如负负得正、合并同类项、配方，等等，都无法通过实际背景进行解释。方程求解的同解变换、函数运算的变形与化简，更是一种并非生活经验的过程。即使如分数除法的颠倒相乘，尽管可以用现实情景加以解释，过程却非常复杂，而且过后即忘，于事无补。

　　《数学课程标准》在修订过程中，出现了“生活现实、数学现实以及其他科学现实”的提法，就比较科学地阐明了数学与现实的关系。可以说，这也是在寻求一种比较合理的中间地带。