课后反思

　  已经拖课了，学生还是不愿意下课。

　  师父张兴华满意地对我们几个徒弟说：“应龙的这节课，我就七个字——浑然大气铸成圆！”

　  认识决定行为。备课时，我就觉得半径、直径不要像原来那样教，一问学生“这是一个多大的圆”，学生就会说出“半径、直径”。事实也是这样，就让自己不再思考了。试教后一反思，才发现“宝物在哪儿呢”是个更妙的问题，首先是回答了探讨的问题，其次是凸显了圆心定位置，半径定大小。现在想来，这样问，味道好极了！

　  正像电影《阿甘正传》中，阿甘妈妈对阿甘说的：“要想往前走，就得甩掉过去。”是啊，我今天的教法不就是想“甩掉过去”吗？但甩掉别人的过去容易，甩掉自己的过去就难了。我是这样，听课老师会不会也是这样，而不肯接受我这节课呢？不管那么多了。数学研究者往往是孤傲的，认为只有自己发现的“1”才是对的，我应该再思考，再否定自己，就像硬汉海明威说的“比别人优秀并无任何高贵之处。真正的高贵在于超越从前的自我”。

　  顿悟：几何画板上显示“正多边形和圆的关系”应该从正六边形开始，这样暗合了刘徽割圆术也是从正六边形开始的，并且解决了几何画板上正三角形不正、看着不舒服的问题，还解决了与前面研究正三角形、正方形、正五边形、正六边形“一中同长”重复的问题。哈哈，反思真好！

　  在完成了“为什么没有规矩也画出了圆”的追问，我说——是啊，圆心只能“一中”，半径一定“同长”。当我们真正理解了祖先的“圆，一中同长也”，才知道以前听说的“圆心”、“半径”是多么重要的两个词啊！——之后，看到学生闪亮的眼睛，我心里真舒畅。这样不就把经验、直观与抽象结合起来了吗？数学的抽象首先是一个过程，其次不就是建立一套术语概念系统吗？

　  ……

　  整体感受——在学生需要教的时候再教，效果就是好。

　  自己以前多次教过《圆的认识》，为什么没有今天这么享受呢？莫名地，我想起《老子》第四十五章：“大成若缺，其用不弊。大盈若冲，其用不穷。大直若屈，大巧若拙，大辩若讷……”

　  那我“成”在哪儿呢？爱因斯坦曾说：“用专业知识教育人是不够的，通过专业教育，学生可以成为一种有用的机器，但不能成为和谐发展的人。要使学生对价值（社会伦理准则）有了理解并产生出热烈的情感，那才是最基本的。”在没有增加新知识点的情况下，上得学生不愿意下课，让学生体验到不同现象背后的本质是一样的，让学生体验到认识事物“特征”的价值，让学生认识圆的“规矩”的同时感受了研究问题的“规矩”，让学生体验到追问“为什么”是一件很有意味的事情……

　  “花未全开月未圆”，大成“有”缺。那我“缺”在哪儿呢？拖课了，总是不好，那要舍什么？这节课的教学主线是“是什么”、“为什么”等五个问题，那么是否该进一步删繁就简？“大方无隅”等可否舍掉？画圆的环节，已经一题多功能了，可否再压缩？

这节课多处引经据典，是否过“度”了？“度”是几处呢？每一处都与“数学”有关，只是“顺手一投枪”（鲁迅语），那老师“顺手”多了，学生是否会目不暇接、“审美疲劳”？

（华应龙 作者系北京第二实验小学副校长，本实录由石雪纳老师整理。原载《人民教育》2008年第3—4期）