善于优化

　　● 郑毓信

　　数学思维不可能自发地得以形成，而主要是一个文化继承的过程。从而，从总体上说，数学学习也必然地有一个“优化”的过程，或者说，数学教师的又一重要职责，是帮助学生很好地实现思维的优化。

　　显然，从这样的角度去分析，我们也就立即可以看出以下一些做法的错误性，因为，教师在此事实上成了某些调皮学生的“尾巴”，以致未能发挥应有的指导作用。

　　在一篇题为《新课程中教师怎样关注学生》① 的文章中，作者提出了这样的观点：教学工作应当以学生为本，以学生的发展为本，从而，教师在自己的教学工作中也就应当“关注学生的表现，欣赏学生的想法，重视学生的问题，接纳学生的意见，宽容学生的错误，满足学生的需要”。

　　上述立场无疑是正确的。但是，我们在此又应防止另外一种倾向，即由忽视学生的发展转而完全放弃了教学所应具有的指导作用。例如，当教师要求学生从不同角度说出8的各种性质，而学生说出“8是16的儿子”时，教师是否应当仅仅停留于“欣赏”而完全放弃了应有的引导？因为，学生的这一说法明显地具有不确定性和含糊性，而学习数学的主要目的之一就是掌握数学这样一种“自然科学的语言”。与自然语言相比，自然科学语言的主要优点之一就是具有确定性和精确性。再例如，当学生提出“被减数与减数完全相同的时候，可以交换它们的位置”时，尽管教师可以而且应当“为学生敢于向老师挑战而感到欣慰”（因为教师在当时所强调的是：“在减法中，被减数与减数绝对不可以交换位置。”）。但是，学生的这一提法是否真的可以被看成“缜密的思维”，进而，在“被减数与减数能否交换”这样一些十分重要而学生又特别容易弄错的地方，教师又是否应当“不加思考地”认错？

　　为了更为深刻地揭示“思维优化”的内涵，以下再联系数学思维的特征对此做出进一步的分析。

　　如前所述（见《善于举例》与《善于提问》两文，分别载《人民教育》2008年第18、19期），特殊的研究视角或抽象内容正是数学思维的一个主要特征：数学所关注的只是事物和现象的量性特征，但却完全舍弃了对象的质的内容。在此要强调的是，与其他学科相比数学达到了更高的抽象高度，因为，无论就代数（算术）思维或是几何思维而言，它们都可被看成一种“自反抽象”，即是以已得到建构的东西为基础不断地去实行新的建构，从而就不断达到了新的、更高的抽象高度。

　　例如，相对于1+2=2+1这样的具体数量关系式而言，a + b = b + a显然代表了认识的重要进步，而后者又正是对于诸多类似关系式在更高层次上的一个概括。这也就如著名哲学家怀特海所指出的：“在代数中，思想上限于特定数的限制取消了。我们写‘x + y = y + x’，在这里，x和y是任何的两个数。这样，对模式的强调（不同于模式所涉及的特殊实体）增强了。”② 当然，又如人们所了解的，在现代数学中a和b所代表的未必是具体的数量，可以是各种可能的对象，比如，（a + b）既可能代表（刚性）运动的叠加，也可能代表变化的复合，等等，从而体现了更高程度的抽象。