善于优化 ● 郑毓信 数学思维不可能自发地得以形成,而主要是一个文化继承的过程。从而,从总体上说,数学学习也必然地有一个“优化”的过程,或者说,数学教师的又一重要职责,是帮助学生很好地实现思维的优化。 显然,从这样的角度去分析,我们也就立即可以看出以下一些做法的错误性,因为,教师在此事实上成了某些调皮学生的“尾巴”,以致未能发挥应有的指导作用。 在一篇题为《新课程中教师怎样关注学生》① 的文章中,作者提出了这样的观点:教学工作应当以学生为本,以学生的发展为本,从而,教师在自己的教学工作中也就应当“关注学生的表现,欣赏学生的想法,重视学生的问题,接纳学生的意见,宽容学生的错误,满足学生的需要”。 上述立场无疑是正确的。但是,我们在此又应防止另外一种倾向,即由忽视学生的发展转而完全放弃了教学所应具有的指导作用。例如,当教师要求学生从不同角度说出8的各种性质,而学生说出“8是16的儿子”时,教师是否应当仅仅停留于“欣赏”而完全放弃了应有的引导?因为,学生的这一说法明显地具有不确定性和含糊性,而学习数学的主要目的之一就是掌握数学这样一种“自然科学的语言”。与自然语言相比,自然科学语言的主要优点之一就是具有确定性和精确性。再例如,当学生提出“被减数与减数完全相同的时候,可以交换它们的位置”时,尽管教师可以而且应当“为学生敢于向老师挑战而感到欣慰”(因为教师在当时所强调的是:“在减法中,被减数与减数绝对不可以交换位置。”)。但是,学生的这一提法是否真的可以被看成“缜密的思维”,进而,在“被减数与减数能否交换”这样一些十分重要而学生又特别容易弄错的地方,教师又是否应当“不加思考地”认错? 为了更为深刻地揭示“思维优化”的内涵,以下再联系数学思维的特征对此做出进一步的分析。 如前所述(见《善于举例》与《善于提问》两文,分别载《人民教育》2008年第18、19期),特殊的研究视角或抽象内容正是数学思维的一个主要特征:数学所关注的只是事物和现象的量性特征,但却完全舍弃了对象的质的内容。在此要强调的是,与其他学科相比数学达到了更高的抽象高度,因为,无论就代数(算术)思维或是几何思维而言,它们都可被看成一种“自反抽象”,即是以已得到建构的东西为基础不断地去实行新的建构,从而就不断达到了新的、更高的抽象高度。 例如,相对于1+2=2+1这样的具体数量关系式而言,a + b = b + a显然代表了认识的重要进步,而后者又正是对于诸多类似关系式在更高层次上的一个概括。这也就如著名哲学家怀特海所指出的:“在代数中,思想上限于特定数的限制取消了。我们写‘x + y = y + x’,在这里,x和y是任何的两个数。这样,对模式的强调(不同于模式所涉及的特殊实体)增强了。”② 当然,又如人们所了解的,在现代数学中a和b所代表的未必是具体的数量,可以是各种可能的对象,比如,(a + b)既可能代表(刚性)运动的叠加,也可能代表变化的复合,等等,从而体现了更高程度的抽象。 |