为什么要淡化竖式笔算

　　——谈如何培养计算的灵活性与创造性

　　一

　　笔算是什么？笔算是记录计算过程与结果的书面形式。笔算的形式是多样化的，大体上可以分为横式笔算与竖式笔算两种；同一种笔算也是形态各异，不拘一格的。就竖式笔算而言，就有标准的竖式笔算与非标准的竖式笔算之分。

　　审视当下小学数学各种版本的教科书，虽然在体现计算教学改革的理念与力度上有区别，但有一点却非常一致，即在中低年级都把标准的竖式笔算作为计算教学唯一的归宿。例如，到了第二学段学习小数四则运算的时候，标准的竖式笔算就成为学生通往计算彼岸的一座独木桥，除此别无他途。

　　除法是小学计算教学的难点，难就难在竖式除法上。一位很优秀的青年教师曾告诉我一件事：她班里有个“差生”，怎么也不理解“312÷3”的竖式笔算的过程和方法，急得哭了。后来这个孩子问她，300÷3=100，12÷3=4，100+4=104，这样算很容易就得出结果了，为什么一定要用竖式计算呢？不理解标准的竖式笔算的孩子是差生吗？这个孩子一点也不差!他有强烈的学习愿望，当他遇到困难的时候，能主动地从数学模式与数字关系寻找有效的计算策略，不仅解决了问题，还敢于提出质疑。这不就是数学教育所要培养的“数字感觉”（简称“数感”）与数学精神吗？的确，成人必须认真反思并积极回应前面那个三年级小学生的质疑。

　　费赖登塔尔说过，长除法的标准形式“对于计算器时代来说，几乎不可能是一种‘必需的’东西”。时代变了，程序计算的标准形式——竖式笔算已经不再是学生“适应未来社会生活和进一步发展所必需的”应用技能。国际数学教育研究还表明，这种标准程序计算与儿童的经验相距甚远，是儿童不易掌握、容易犯错的算法；儿童往往知其然却不知其所以然。为什么我们的小学数学教育还在强调竖式算法，小学的数学考试还非考竖式笔算不可呢？有没有想过，对竖式笔算的强制与强化所导致的不良后果？

　　掌握竖式除法必须突破两个难关：一是理解竖式除法的格式、步骤是怎样从具体的情境操作中抽象出来的，二是掌握“试商”的方法。为了化解上述难点，教材编者精心设计，层层铺垫，一线老师也费尽心思，精益求精，但教学效果依然不尽如人意；甚至有人惊呼：数学课程改革导致学生计算能力普遍下降，必须回归强化竖式笔算训练的老路。

　　事实上，如果说当下小学生计算能力确有下降，也不能责怪于课程改革。《数学课程标准（实验稿）》对整数计算的具体目标分四种类别：① 能熟练地口算；② 会口算；③ 能计算；④ 能笔算。“会口算”与“能笔算”应该是“能计算”的应有之义；而“能笔算”应该把横式笔算与竖式笔算都包括在内。如果这个解读是正确的话，那么目前任何一种版本的小学数学教科书，都没有完全达到这些目标。

　　“54÷3=？学生会口算吗？”笔者曾经向一些教研员和教师作调查，结果是：“这道题大多数学生不会口算”，“这样的要求太高了，学生达不到”……《数学课程标准（实验稿）》明文规定：“会口算百以内一位数乘、除两位数。”可是现有版本的教科书对此都没有提出口算的要求。问题就出在这里，这类比较简单的计算题都养成学生对竖式笔算程序的依赖，还怎么培养学生的数感？怎么发挥学生计算的灵活性与创造性呢？

　　其实，54÷3有许多口算的方法。探索这些方法，初期可以把抽象的数字与实物模型联系起来，如，54个苹果平均分给3个人，每人分得多少个苹果？通过布置情境、动手操作解决问题；再用口语描述操作的过程与结果，并用算式记录下来；而后逐步脱离实物，过渡到直接利用抽象的数字进行思考与运算。这个发展过程是培养与形成“数感”的必由之路。直观是手段，通过直观发展抽象思维才是数学教育的目的。

　　54÷3有哪些口算方法呢？

　　算法1：54=30+24，30÷3=10，24÷3=8，

　　                 10+8=18。

　　算法2：54=60-6，60÷3=20，6÷3=2，

　　                 20-2=18。

　　算法3：3=9÷3，54÷9=6，6×3=18。

　　算法4：3=6÷2，54÷6=9，9×2=18。

　　……

　　上面记录口算的过程与结果的形式，就是横式笔算。通过横式笔算可以了解学生的想法，并使算法的书面交流成为可能。这是必须加强横式笔算的第一个理由。

　　横式笔算没有固定不变的格式，它能够灵活地选择适当的算式来记录不同算法的程序。而标准的竖式笔算，只能记录与上述算法1程序一致的算法的过程与结果，对记录其他的算法程序都无能为力。这是必须加强横式笔算的第二个理由。

　　观察上述四种算法，有什么共同点？你能从数学的角度发现算法多样化的根源吗？计算54÷3，用乘法口诀是不能直接求商的。因为不能一步到位，不得不考虑分步到位，分步计算就是上述算法的共同特点。怎样分步计算，则要根据被除数54或除数3的不同的结构特征。一个数字与其他诸多数字的不同的关联，都可能联系着不同的算法。所以，数的多元表征是算法多样化的根源，也是寻找有效算法的基本线索。

　　如上所述，借助横式笔算才可能进一步深入研究数字模式与数字关系，发现规律，揭示数学的本质。这是加强横式笔算的第三个理由。