给学生一个立体的“数学”

　　——例谈“数形结合”

    在我们周围有一些害怕学数学的孩子，究其根本原因，是没有掌握基本的数学学习方法，碰到问题常常束手无策，不知道从哪里开始思考，在被打击n次后，变得消极、反应迟钝、焦虑，有的甚至就此放弃。“积极心理学”之父马丁·塞利格曼称之为“习得性无助”，他认为人很容易成为思维和习惯的囚徒。我一直在寻找帮助孩子们摆脱这种困境的方法，结果发现数形结合的思想是根除这种“无助”感的非常有用的思维方式之一。如果每一节数学课中，教师都能想办法让孩子们体验到数形结合的思想，由数及形、因形寻数，找到攀登的脚手架，数学在他们的眼中也会随之变得简洁而丰富。

　　数形结合作为一种思想

　　数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，将抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。因此，数形结合不仅仅是一种简单的关系，更是一种数学思想（方法）。

　　    数与形是数学中最古老、最基本的两个研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系，一方面各自独立存在于自己的领域，另一方面两者又完美地结合在一起，在宇宙空间释放着关于空间形式与数量关系的无穷无尽的能量。从古到今，很多人曾经对数与形的关系做过生动的描绘：从《九章算术》里的“析理以辞，解体用图”到华罗庚“数形本是相倚依，怎能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；几何代数统一体，永远联系莫分离”的诗句；从古希腊数学家毕达哥拉斯的数阵图、毕达哥拉斯定理（勾股定理）到美国数学家斯蒂恩提出的“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且创造性思索问题的解法”，等等，所有这些都向我们深刻地描绘了数形之间那种美妙的契合关系。

　　小学阶段的数学学习中数形结合的思想具有得天独厚的优势。第一，从小学数学教材的编写来看，有关数形的内容没有被人为割裂，而是交替呈现，螺旋上升，为渗透数形结合的思想提供了可能；第二，小学是学生系统地学习数学的初级阶段，他们头脑中关于数与形没有明显的分隔符，是建构数形结合思想的极佳时期，为今后的数学学习乃至良好思维方式的形成奠定了基础；第三，小学生的身心特点决定了他们的学习特点，在以形象思维为主渐渐向抽象思维的过渡中，数形的结合正是顺利完成这个过渡的最好的媒介，借助形的形象来理解数的抽象，利用数的抽象来提升形的内在逻辑，这也正是数学学习的本质。

　　在课堂教学中，教师运用数形结合思想的领域常见于数概念、数的计算及数量（关系）的问题解决中。通常情况下以代数为出发点，通过各种形式揭示隐含在它内部的几何背景，启发学生的思维，找到解题的途径。但是，这并不是数形结合思想的全貌，在解决几何问题时同样要用到数形结合，即以几何为出发点，将直观的图形与抽象的数学语言结合起来，将形象思维和抽象思维结合起来，实现具体形象、表象与抽象概念的联系和转化，化直观为抽象，通过数量关系的研究来解决问题。可以想象，当学生的思维能够自觉并且自由地穿梭在数与形之间，那是一个多么美妙的教与学的境界。